高考數(shù)列數(shù)論 高二數(shù)學數(shù)列極限問題求大神解決

誰能給我?guī)椎李愃聘呖甲詈笠坏缐狠S題的數(shù)列題。。 謝謝 多一點 有重賞，數(shù)論問題（涉及到數(shù)列知識，高考數(shù)列中有沒有考查到極限、數(shù)論的知識，高中數(shù)學。數(shù)列、不等式、圓錐曲線方程、空間向量，這四大部分中最難和最簡單的分別是哪個，我覺得數(shù)列好難啊怎么學？全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試和二試是怎么回事？

本文導航

• 數(shù)列難題壓軸題
• 數(shù)列中的規(guī)律知識點
• 高二數(shù)學數(shù)列極限問題求大神解決
• 高一數(shù)學圓錐曲線解題技巧
• 數(shù)列綜合為什么那么難
• 全國高中數(shù)學競賽怎么參加

數(shù)列難題壓軸題

50年代開始,在國際數(shù)學界廣泛流行著這樣一個奇怪有趣的數(shù)學問題:任意給定一個自然數(shù)x,如果是偶數(shù),則變換成x/2,如果是奇數(shù),則變換成3x+1.此后,再對得數(shù)繼續(xù)進行上述變換.例如x=52,可以陸續(xù)得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環(huán):

(4,2,1).再試其他的自然數(shù)也會得出相同的結(jié)果.這個就是敘古拉猜想.

上述變換,實際上是進行下列函數(shù)的迭代

{ x/2 (x是偶數(shù))

C(x)= 3x+1 (x是奇數(shù))

問題是,從任意一個自然數(shù)開始,經(jīng)過有限次函數(shù)C迭代,能否最終得到循環(huán)(4,2,1),或者等價地說,最終得到1?據(jù)說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的一次國際數(shù)學家大會上談起過,因而許多人稱之為克拉茨問題.但是后來也有許多人獨立地發(fā)現(xiàn)過同一個問題,所以,從此以后也許為了避免引起問題的歸屬爭議,許多文獻稱之為3x+1問題.

克拉茨問題吸引人之處在于C迭代過程中一旦出現(xiàn)2的冪,問題就解決了,而2的冪有無窮多個,人們認為只要迭代過程持續(xù)足夠長,必定會碰到一個2的冪使問題以肯定形式得到解決.正是這種信念使得問題每到一處,便在那里掀起一股"3x+1問題"狂熱,不論是大學還是研究機構(gòu)都不同程度地卷入這一問題.許多數(shù)學家開始懸賞征解,有的500美元,有的1000英鎊.

日本東京大學的米田信夫已經(jīng)對240大約是11000億以下的自然數(shù)做了檢驗.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經(jīng)對5.6*1013的自然數(shù)進行了驗證,均未發(fā)現(xiàn)反例.題意如此清晰,明了,簡單,連小學生都能看懂的問題,卻難到了20世紀許多大數(shù)學家.著名學者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時候,竟然冠以"不要試圖去解決這些問題"為標題.經(jīng)過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數(shù)學家厄特希(P.Erdos)的說法:"數(shù)學還沒有成熟到足以解決這樣的問題!"有人提議將3x+1問題作為下一個費爾馬問題.

下面是我對克拉茨問題的初步研究結(jié)果,只是發(fā)現(xiàn)了一點點規(guī)律,距離解決還很遙遠.

克拉茨命題:設 n∈N,并且

f(n)= n/2 (如果n是偶數(shù)) 或者 3n+1 (如果n是奇數(shù))

現(xiàn)用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).

則存在有限正整數(shù)m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換)

克拉茨命題的證明

引理一:若n=2m,則fm(n)=1 (m∈N)

證明:當m=1時,f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設當m=k時成立,則當m=k+1時,fk+1(n)=f(fk(2k+1))=

=f(2)=2/2=1.證畢.

引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.

證明:證明是顯然的,省略.

引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 則有fm+2k+3(n)=1.

證明:省略.

定理一:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 對于變換f(X)是封閉的.

證明:對于任意自然數(shù)n,若n=2m,則fm(n)=1,對于n=2k,經(jīng)過若干次偶變換,必然要變成奇數(shù),所以我們以下之考慮奇數(shù)的情形,即集合O的情形.對于奇數(shù),首先要進行奇變換,伴隨而來的必然是偶變換,所以對于奇數(shù),肯定要進行一次全變換.為了直觀起見,我們將奇數(shù)列及其全變換排列如下:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152

2 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76

3 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38

4 3k-2 1 4 7 10 13 16 19

5 3k-1 2 5 8

6 3k-2 1 4

7 3k-1 2

8 3k-2 1

第一行(2k-1)經(jīng)過全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實際上等于第一行加上一個k,其中的奇數(shù)5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差數(shù)列3k-2,3k-1交錯排列.由于最終都變成了奇數(shù),所以集合O對于變換f(X)是封閉的.

定理二:任何奇自然數(shù)經(jīng)過若干次變換都會變成1.

證明:

我們看到 奇數(shù)經(jīng)過全變換變成為3k-1型數(shù),3k-1型奇數(shù)經(jīng)過全變換有一半仍然變成3k-1型奇數(shù),而另一半3k-1型偶數(shù)經(jīng)過除以2有一半變成為3k-2型奇數(shù),而3k-2型奇數(shù)經(jīng)過全變換又變成為3k-1型數(shù).換句話說不可能經(jīng)過全變換得到3k-2型數(shù).

下面我們只研究奇數(shù)經(jīng)過全變換的性質(zhì),因為對于其他偶數(shù)經(jīng)過若干次偶變換,仍然要回到奇數(shù)的行列里來.

我們首先證明奇數(shù)經(jīng)過若干次全變換必然會在某一步變成偶數(shù).

設2a0-1是我們要研究的奇數(shù),它經(jīng)過全變換變成3a0-1,假設它是一個奇數(shù)并且等于2a1-1,2a1-1又經(jīng)過全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.

所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整數(shù),可令a0=2kn,(n是奇數(shù)).于是ak=3kn.則從2a0-1經(jīng)過若干次全變換過程如下:

2k+1n-1 -> 3*2kn-1 -> 32*2k-1n-1 -> 33*2k-2n-1 ->... -> 3k+1n-1 (偶數(shù)).

然后我們證明經(jīng)過全變換變成偶數(shù)的奇數(shù)一定大于該偶數(shù)經(jīng)過若干偶變換之后得到的奇數(shù).

設3k+1n-1=2mh (h為奇數(shù)),我們要證明 h<2*3kn-1:

h=(2*3kn-1+3kn)/2m<2*3kn-1,令a=3kn,b=2m-1,則有 2ab>a+b,而這是顯然的.

定義:以下我們將稱呼上述的連續(xù)全變換緊接著連續(xù)的偶變換的從奇數(shù)到另外一個奇數(shù)的過程為一個變換鏈.

接著我們證明奇數(shù)經(jīng)過一個變換鏈所得的奇數(shù)不可能是變換鏈中的任何中間結(jié)果,包括第一個奇數(shù).

若以B(n)表示奇數(shù)n的變換次數(shù),m是n經(jīng)過變換首次遇到的其他奇數(shù),則有

定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是滿足3n+1=2km的非負整數(shù).

證明:n經(jīng)過一次奇變換,再經(jīng)過k次偶變換變成奇數(shù)m,得證.

舉例來說,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17

原始克拉茨

二十世紀30年代,克拉茨還在上大學的時候,受到一些著名的數(shù)學家影響,對于數(shù)論函數(shù)發(fā)生了興趣,為此研究了有關(guān)函數(shù)的迭代問題.

在1932年7月1日的筆記本中,他研究了這樣一個函數(shù):

F(x)= 2x/3 （如果x被3整除 或者 (4x-1)/3 （如果x被3除余1）或者 (4x+1)/3 （如果x被3除余2）

則F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...為了便于觀察上述迭代結(jié)果,我們將它們寫成置換的形式:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

1 3 2 5 7 4 9 11 6 ...

由此觀察到:對于x=2,3的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(2,3)

對于x=4,5,6,7,9的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(5,7,9,6,4).

接下來就是對x=8進行迭代,克拉茨在這里遇到了困難,他不能確知,這個迭代是否會形成循環(huán),也不知道對全體自然數(shù)做迭代除了得到上述兩個循環(huán)之外,是否還會產(chǎn)生其他循環(huán).后人將這個問題稱為原始克拉茨問題.現(xiàn)在人們更感興趣的是它的逆問題:

G(x)= 3x/2 （如果x是偶數(shù)）或者 (3x+1)/4 （如果x被4除余1）或者 (3x-1)/4 （如果x被4除余3）

不難證明,G(x)恰是原始克拉茨函數(shù)F(x)的反函數(shù).對于任何正整數(shù)x做G迭代,會有什么樣的結(jié)果呢?

經(jīng)計算,已經(jīng)得到下列四個循環(huán):

(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).

因為G迭代與F迭代是互逆的,由此知道,F迭代還應有循環(huán)(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).

G迭代還能有別的循環(huán)嗎?為了找到別的循環(huán),人們想到了下面的巧妙方法:

由于G迭代使后項是前項的3/2(當前項是偶數(shù)時)或近似的3/4(當前項是奇數(shù)).如果G迭代中出現(xiàn)循環(huán),比如迭代的第t項at與第s項as重復(t<s):at=as.但

as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at

或等于3/2,或者近似于3/22,因而

1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at≈3m/2n

這里 m=s-t,m < n

即 2n≈3m

log22n≈log23m

故 n/m≈log23

這就是說,為了尋找出有重復的項(即有循環(huán)),應求出log23的漸進分數(shù)n/m,且m可能是一個循環(huán)所包含的數(shù)的個數(shù),即循環(huán)的長度.

log23展開成連分數(shù)后,可得到下列緊缺度不同的漸進分數(shù):

log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...

漸進分數(shù)2/1表明,31≈22,循環(huán)長度應為1.實際上恰存在長度為1的循環(huán)(1).

漸進分數(shù)3/2表明,32≈23,循環(huán)長度應為2.實際上恰存在長度為2的循環(huán)(2,3).

漸進分數(shù)8/5表明,35≈28,循環(huán)長度應為5.實際上恰存在長度為5的循環(huán)(4,6,9,7,5).

漸進分數(shù)19/12表明,312≈219,循環(huán)長度應為12,實際上恰存在長度為12的循環(huán)(44,66,...59).

這四個漸進分數(shù)的分母與實際存在的循環(huán)長度的一致性,給了人們一些啟發(fā)與信心,促使人們繼續(xù)考慮:是否存在長度為41,53,306,665,15601,...的循環(huán)?令人遺憾的是,已經(jīng)證明長度是41,53,306的循環(huán)肯定不存在,那么,是否會有長度為665,15601,...的循環(huán)呢?

F迭代與G迭代究竟能有哪些循環(huán)呢?人們正在努力探索中!

數(shù)列中的規(guī)律知識點

既然有周期性，則a%i的值只與i除以m的余數(shù)相同。且一個周期中的m個值互異，所以只要下標除以m余數(shù)不同，則值不同；余數(shù)相同，則值相同。

再設x=yd, d=(x,m)=d(x/d, m/d)=d(y,m/d)，所以(y, m/d)=1

而xk+1=ydk+1，其中k取遍1,2,.....,m/d的所有值，

xk+1=ydk+1，k取遍1,2,3.....,m/d

則ydk+1取遍yd+1,2yd+1,3yd+1,........,(m/d)yd+1的所有值，正好m/d個下標，

任取不同的兩個下標相減，得jyd-iyd=(j-i)yd顯然不是m的倍數(shù)。

所以這m/d個數(shù)列下標除以m余數(shù)互不相等。所以對應的數(shù)列值a&（idk+1）也互不相等。

更大的下標， 可設k=(m/d)*T +r, 1<=r<=m/d, T是任意整數(shù)。

則xk+1=myT+ryd+1，由于數(shù)列的周期是m，所以a%xk+1 =a&（ryd+1），總屬于前述m/d個不同的值之一。

所以{a&xk+1}只能取到m/d個值，k=1,2,3,.....,m/d得到典型的m/d個值，并且k有周期m/d.

同理{a&xk+w}也只能取到m/d個值。

高二數(shù)學數(shù)列極限問題求大神解決

極限有時候會的，不過不是大學高等數(shù)學的內(nèi)容，一般是證明一下單調(diào)性，恒大于或小于某個值，是一些比較基礎(chǔ)的，理解不會很困難。數(shù)論的話，一般就是整除，最多考慮考慮余數(shù)吧。對了，這是江蘇的情況，其他省的我就不太清楚了。但愿能幫到你。

高一數(shù)學圓錐曲線解題技巧

最簡單的空間向量。最難圓錐曲線

數(shù)列綜合為什么那么難

高中的數(shù)列知識并不是很難，如果你覺得很難的情況下，建議你將教材的習題多做幾遍，把基礎(chǔ)的定義公式一定要掌握好。

1、學習數(shù)列，首先要掌握一些基本的公式要點。例如：求通項，求前N項和；

2、應該記住基本的數(shù)列公式，畢竟公式就像砌墻的磚，沒有磚就不能砌墻，在此基礎(chǔ)上再去多看看例題，例題肯定是有代表性的；

3、通過多學多做來熟悉公式；

4、理解數(shù)列的題型，例如：抽象數(shù)列題型，結(jié)合函數(shù)；

5、之后就嘗試去做簡單點的題目；

6、慢慢的把難度提升，這樣會比較容易掌握、學會求解數(shù)列。

學習數(shù)列，你首先要把一些基本的公示要會。求通項，求前N項和，

幾個公式是肯定要的，比如s（n+1)-sn=an 這個是求通項最基礎(chǔ)的

數(shù)學、就是多學多做。公式不是用來背的，是做熟的。。。

高考中數(shù)列的題型不難，無非就是求an、sn? 等比中項 和等差中項常常會用的到的。

以下是我個人的看法。高中的數(shù)列有三個層級。

（1）基礎(chǔ)題型。這個需要你自己總結(jié)，比如說 乘公比錯位相減法、列項法等等。這些一開始學感覺很難，肯定不適應，所以你要多總結(jié)題型，然后根據(jù)題型練習。經(jīng)過一段時間，這部分就能拿滿分了。

（2）思考題型。這部分經(jīng)常出一些規(guī)律性的題，讓你找出通項公式，或者推倒。具體的方法千變?nèi)f化，沒有什么好的應對措施，只能遇到一個干掉一個。

（3）難題，這部分不要考慮了，用到了放縮放這些大學都不會要求到的東西。。。高考一般是最后一道壓軸題才出。。。而且是第三問的水準，咱不要了，考144就行。。。

為了的高分，你要專抓住第（1）部分。第（2）部分在第（1）部分過關(guān)后，適當做題。第（3）部分建議放棄，沒意義

全國高中數(shù)學競賽怎么參加

高中數(shù)學聯(lián)賽包括一試、二試兩部分內(nèi)容。

1、聯(lián)賽一試：考試時間為上午8：00-9：20，共80分鐘。試題分填空題和解答題兩部分，滿分120分。其中填空題8道，每題8分；解答題3道，分別為16分、20分、20分。其中題目是三道大題，和IMO看齊，一試考試時間為100分鐘，二試為120分鐘。

2、聯(lián)賽二試：考試時間為9：40-12：10，共150分鐘。試題為四道解答題，前兩道每題40分，后兩道每題50分，滿分180分。試題內(nèi)容涵蓋平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合數(shù)學等。

考試技巧

1、順利解答那些一眼看得出結(jié)論的簡單選擇或填空題(建議第一題做兩遍，直至答案一致為止，一旦解出，情緒立即會穩(wěn)定)。

2、對不能立即作答的題目，可一面通覽，一面粗略分為甲、乙兩類，其中甲類指題型比較熟悉、估計上手比較容易的題目，乙類是題型比較陌生、自我感覺比較困難的題目。