什么是無(wú)界函數(shù) 常見的有界函數(shù)
什么叫有界函數(shù)和無(wú)界函數(shù)?什么是無(wú)界函數(shù)?函數(shù)無(wú)界是什么意思?怎樣證明函數(shù)無(wú)界?函數(shù)無(wú)界的定義是什么?無(wú)界函數(shù)的定義是什么?
本文導(dǎo)航
- 常見的有界函數(shù)
- 怎么判斷是否是無(wú)界函數(shù)
- 無(wú)界函數(shù)定義
- 函數(shù)無(wú)界的判斷
- 函數(shù)在定義域內(nèi)有界存在極限嗎
- 無(wú)界函數(shù)的極限都不存在嗎
常見的有界函數(shù)
有界函數(shù)是指有最值,無(wú)界函數(shù)則無(wú)最值。例如。y=x,是無(wú)界函數(shù)。而正弦函數(shù)則是有界函數(shù)。
怎么判斷是否是無(wú)界函數(shù)
無(wú)界函數(shù)的定義:對(duì)任意的M>=0且小于正無(wú)窮,存在x,使得|f(x)|>=M,則f(x)無(wú)界。典型的例如y=x。y=x^2等都是無(wú)界函數(shù)。 1.無(wú)界函數(shù)與無(wú)窮大量?jī)蓚€(gè)概念之間有嚴(yán)格的區(qū)別: 無(wú)界函數(shù)的概念是指某個(gè)區(qū)間上的。若對(duì)于任意的正數(shù),總存在某個(gè)點(diǎn),使得|f(x)|>=m,則稱該函數(shù)是區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)。 無(wú)窮大量是指在自變量的某個(gè)趨限過程(例)下因變量的變化趨勢(shì).若對(duì)于任意正數(shù),總存在,對(duì)一切滿足的,總有,則稱函數(shù)是時(shí)的無(wú)窮大量。 無(wú)窮大量必是無(wú)界量,無(wú)界量未必是無(wú)窮大量。 舉例:有函數(shù)Y=X*sinX,則此函數(shù)為無(wú)界函數(shù),但不為無(wú)窮函數(shù)。因?yàn)楫?dāng)X趨于無(wú)窮時(shí),函數(shù)值關(guān)于X軸上下擺動(dòng),總有某點(diǎn)Y=0,所以不為無(wú)窮。
無(wú)界函數(shù)定義
就是函數(shù)的上界或下界中,至少有一個(gè)不存在的意思。
無(wú)上界就表示函數(shù)值不會(huì)恒小于任何有限實(shí)數(shù)。
無(wú)下界就表示函數(shù)值不會(huì)恒大于任何有限實(shí)數(shù)。
上界和下界中,只要有一個(gè)沒有(兩個(gè)都沒有也可以),這個(gè)函數(shù)就是無(wú)界函數(shù)。
函數(shù)無(wú)界的判斷
反證法:假設(shè)A=a*sina是函數(shù)的上界,即對(duì)(0,+無(wú)窮)上所有實(shí)數(shù),均有F(x)=xsinx<=A,此時(shí)sina必大于0。但當(dāng)x=a+2π時(shí),有F(a+2π)=(a+2π)*sin(a+2π)=(a+2π)*sina 。
因?yàn)閍+2π>a,sina>0,所以F(a+2π)=(a+2π),*sina>a*sina=A,因此相矛盾了。所以函數(shù)f(x)為無(wú)界函數(shù)。
無(wú)界函數(shù)即不是有界函數(shù)的函數(shù)。也就是說(shuō),函數(shù)y=f(x)在定義域上只有上界(或只有下界);或者既沒有上界又沒有下界,稱f(x)在定義域上無(wú)界,在定義域無(wú)界的函數(shù)稱為無(wú)界函數(shù);。
相關(guān)信息
1、有界性
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間X上有定義,如果存在M>0,對(duì)于一切屬于區(qū)間X上的x,恒有|f(x)|≤M,則稱f(x)在區(qū)間X上有界,否則稱f(x)在區(qū)間上無(wú)界。
2、單調(diào)性
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I包含于D。如果對(duì)于區(qū)間上任意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的;如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)>f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。
函數(shù)在定義域內(nèi)有界存在極限嗎
無(wú)界函數(shù)的定義:對(duì)任意的M>=0且小于正無(wú)窮,存在x,使得|f(x)|>=M,則f(x)無(wú)界。典型的例如y=x。y=x^2等都是無(wú)界函數(shù)。
1、無(wú)界函數(shù)與無(wú)窮大量?jī)蓚€(gè)概念之間有嚴(yán)格的區(qū)別:
無(wú)界函數(shù)的概念是指某個(gè)區(qū)間上的。若對(duì)于任意的正數(shù),總存在某個(gè)點(diǎn),使得|f(x)|>=m,則稱該函數(shù)是區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)。
無(wú)窮大量是指在自變量的某個(gè)趨限過程(例)下因變量的變化趨勢(shì).若對(duì)于任意正數(shù),總存在,對(duì)一切滿足的,總有,則稱函數(shù)是時(shí)的無(wú)窮大量。
無(wú)窮大量必是無(wú)界量,無(wú)界量未必是無(wú)窮大量。
舉例:有函數(shù)Y=X*sinX,則此函數(shù)為無(wú)界函數(shù),但不為無(wú)窮函數(shù)。因?yàn)楫?dāng)X趨于無(wú)窮時(shí),函數(shù)值關(guān)于X軸上下擺動(dòng),總有某點(diǎn)Y=0,所以不為無(wú)窮。
函數(shù)的值區(qū)別:
無(wú)窮大:函數(shù)的值無(wú)止境的大下去,無(wú)限度地大下去。但是,不可以正負(fù)無(wú)窮大之間波動(dòng)。
有界: 函數(shù)的值在一個(gè)范圍。
無(wú)界: 函數(shù)的值不在任何范圍。
極限: 函數(shù)的值逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”A值就是界限。
無(wú)界函數(shù)的極限都不存在嗎
函數(shù)無(wú)界是指任意G>O,都有x,st,f(x)>G.說(shuō)的是函數(shù)整體性質(zhì)。函數(shù)可以點(diǎn)點(diǎn)取值都有限,但是函數(shù)整體無(wú)界。
無(wú)窮大是在實(shí)直線上補(bǔ)充定義的一個(gè)抽象的數(shù)((定義了正負(fù)無(wú)窮后成為擴(kuò)充實(shí)直線),x=正無(wú)窮是指x比任意數(shù)都大。在擴(kuò)充實(shí)直線上可以定義和無(wú)窮有關(guān)的運(yùn)算。當(dāng)然函數(shù)可以取值為無(wú)窮。這時(shí)函數(shù)一定是無(wú)界的。
舉例說(shuō)明
有界函數(shù)的圖形必介于兩條平行于x軸的直線y=-M和y=M之間(當(dāng)自變量為x時(shí)),籠統(tǒng)地說(shuō)某個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)或無(wú)界函數(shù)是不確切的,必須指明所考慮的區(qū)間。
無(wú)界函數(shù)即不是有界函數(shù)的函數(shù)。也就是說(shuō),函數(shù)y=f(x)在定義域上只有上界(或只有下界);或者既沒有上界又沒有下界,稱f(x)在定義域上無(wú)界,在定義域無(wú)界的函數(shù)稱為無(wú)界函數(shù);。
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