什么是可相似對角化 如何判斷是否能對角化

線性代數(shù)中,矩陣滿足什么條件可以相似對角化？可對角化和可相似對角化，可相似對角化的條件，可相似對角化的充要條件是什么？如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對角化？可相似對角化的充分必要條件是什么？

本文導(dǎo)航

• 矩陣相似對角化怎么求參數(shù)
• 是否可對角化怎么判斷
• 如何判斷是否能對角化
• 求相似對角化必須用正交矩陣嗎
• 如何判斷矩陣能否相似于對角矩陣
• 矩陣可對角化的必要條件

矩陣相似對角化怎么求參數(shù)

n階矩陣A可以對角化的充分必要條件是有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量!

記A的秩等于n

是否可對角化怎么判斷

可對角化就是可以相似對角化,

一個(gè)意思

另一個(gè)類似的概念是正交對角化

如何判斷是否能對角化

代數(shù)重?cái)?shù)為1時(shí),幾何重?cái)?shù)必為1

所以我們一般只判斷重特征值的情況

書上有一個(gè)定理不知你知不知道

一個(gè)特征值的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)≤該特征值的重?cái)?shù)

即是說其幾何重?cái)?shù)≤代數(shù)重?cái)?shù)

所以代數(shù)重?cái)?shù)為1時(shí),幾何重?cái)?shù)≤1

又因?yàn)槊恳粋€(gè)特征值必對應(yīng)一個(gè)特征向量

所以幾何重?cái)?shù)≥1

綜上,幾何重?cái)?shù)=1

至于剛說的定理我就不再這證明了,你去翻一下書,應(yīng)該能找到.

不知,我這樣說你能不能明白.不明白可以百度Hi我

求相似對角化必須用正交矩陣嗎

假設(shè)矩陣為A，則充要條件為：

A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

A的極小多項(xiàng)式?jīng)]有重根

充分非必要條件：

A沒有重特征值

A*A^H=A^H*A

必要非充分條件：f(A)可對角化，其中f是收斂半徑大于A的譜半徑的任何解析函數(shù)。

擴(kuò)展資料：

如果V是有限維度的向量空間，則線性映射T ： V → V被稱為可對角化的，如果存在V的一個(gè)基，T關(guān)于它可被表示為對角矩陣。對角化是找到可對角化矩陣或映射的相應(yīng)對角矩陣的過程。

可對角化矩陣和映射在線性代數(shù)中有重要價(jià)值，因?yàn)閷蔷仃囂貏e容易處理： 它們的特征值和特征向量是已知的，并通過簡單的提升對角元素到同樣的冪來把一個(gè)矩陣提升為它的冪。

參考資料來源：百度百科-可對角化矩陣

如何判斷矩陣能否相似于對角矩陣

簡單分析一下即可，答案如圖所示

矩陣可對角化的必要條件

可相似對角化的充分必要條件是：n階方陣存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

推論：如果這個(gè)n階方陣有n個(gè)不同的特征值，那么矩陣必然存在相似矩陣。

如果階n方陣存在重復(fù)的特征值，每個(gè)特征值的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重復(fù)次數(shù)。

可對角化矩陣和映射在線性代數(shù)中有重要價(jià)值，因?yàn)閷蔷仃囂貏e容易處理：它們的特征值和特征向量是已知的，并通過簡單的提升對角元素到同樣的冪來把一個(gè)矩陣提升為它的冪。

矩陣對角化的條件：

有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，可對角化矩陣是線性代數(shù)和矩陣論中重要的一類矩陣。如果一個(gè)方塊矩陣A相似于對角矩陣，也就是說，如果存在一個(gè)可逆矩陣P使得P1AP是對角矩陣，則它就被稱為可對角化的。

如果V是有限維度的向量空間，則線性映射T：V→V被稱為可對角化的，如果存在V的一個(gè)基，T關(guān)于它可被表示為對角矩陣。對角化是找到可對角化矩陣或映射的相應(yīng)對角矩陣的過程。