為什么正交變換可逆 求可逆變換矩陣用不用正交化

為什么正交變換存在可逆性仍能進(jìn)行數(shù)據(jù)還原？可逆線性變換與正交變換有什么關(guān)系？什么叫正交變換？為什么要正交變換？可逆變換和正交變換的區(qū)別啊，證明：正交變換為什么在任何基下的矩陣可逆？可逆線性變換和正交變換的區(qū)別是什么？

本文導(dǎo)航

• 變換矩陣為什么要正交化
• 正交變換和對(duì)稱(chēng)變換怎么判斷
• 判斷正交變換的方法
• 正交變換一定要用正交單位矩陣嗎
• 求可逆變換矩陣用不用正交化
• 線性變換可逆的條件

變換矩陣為什么要正交化

因?yàn)槭遣缓玫?/p>

第三題？？

正交變換和對(duì)稱(chēng)變換怎么判斷

矩陣的相似和合同

????，1矩陣的相似， 設(shè)為階矩陣！若存在可逆矩陣使！則與相似。 APPAP！BBnA、B

????相似的性質(zhì)(相似的必要條件)，若,則 AB~

???? (1)( (2) ( AB！rArB()()！

????(3)即有相同的特征值( (4) 。 ((EAEB，！，ab?。海篿iii

????T矩陣的合同，和為兩個(gè)階對(duì)稱(chēng)矩陣,若存在階可逆矩陣使！則稱(chēng)與合同。 ABABnnCCAC！B

????1；)11；)；)T~? 例如，則有！顯然兩矩陣合同特征值未必相同？CACB！ABC?。?！,,,1~?~?~?41?，?，?，2

(1) 線性代數(shù)中的變換涉及到初等變換,相似變換,正交變換,合同變換,這些變換都是可逆的,其中正交變換即是相似變換又是合同變換. 普通坐標(biāo)的線性變換不一定是可逆的(要看坐標(biāo)變換的矩陣是否可逆);

(2) 微分算子法數(shù)學(xué)二并不要求(數(shù)學(xué)一也不必掌握), 此方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程,按照常規(guī)方法很容易可以求解, 其中特征根為i, -i, 特解為 -x, 因此通解為 y = c_1 cosx + c_2 sinx -x;

(3) 你的題目估計(jì)有問(wèn)題. 圓的方程可能出錯(cuò)了, 否則若按照極坐標(biāo)的思想, 圓心不在直線 y = x 上. 此題我的判斷是圓心在直線 y=x 上. 有兩種選擇: (i) 可使用型心坐標(biāo)公式(稍微麻煩); (ii) 使用廣義形式是極坐標(biāo)變換: x - x_0 = rcos\theta; y-y_0= rsin\theta, \theta的范圍為 \pi/4 到 \pi 3/4, r的范圍為 0 到圓的半徑.

判斷正交變換的方法

在線性代數(shù)中，正交變換是線性變換的一種，它從實(shí)內(nèi)積空間V映射到V自身，且保證變換前后內(nèi)積不變。

原因：

因?yàn)橄蛄康哪ｉL(zhǎng)與夾角都是用內(nèi)積定義的，所以正交變換前后一對(duì)向量各自的模長(zhǎng)和它們的夾角都不變。特別地，標(biāo)準(zhǔn)正交基經(jīng)正交變換后仍為標(biāo)準(zhǔn)正交基。

在有限維空間中，正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為正交矩陣，其所有行和所有列也都各自構(gòu)成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。因?yàn)檎痪仃嚨男辛惺街豢赡転?1或?1，故正交變換的行列式為+1或?1。

行列式為+1和?1的正交變換分別稱(chēng)為第一類(lèi)的（對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換）和第二類(lèi)的（對(duì)應(yīng)瑕旋轉(zhuǎn)變換）?？梢?jiàn)，歐幾里得空間中的正交變換只包含旋轉(zhuǎn)、反射及它們的組合（即瑕旋轉(zhuǎn)）。

正交變換的性質(zhì)：

1、正交變換不會(huì)改變向量間的正交性，如果;;和;;正交，則;;和;;亦為正交。

2、如果;和皆為正交矩陣，則; 亦為正交矩陣。

3、如果為正交矩陣，;;的反矩陣;;亦為正交矩陣。

4、正交變換容易做反運(yùn)算。

5、對(duì)于正交變換，如果;;和;;可以做內(nèi)積，;;和;;做內(nèi)積之值等于;;和;;做內(nèi)積之值。

參考資料：百度百科-正交變換

正交變換一定要用正交單位矩陣嗎

(1)

線性代數(shù)中的變換涉及到初等變換,相似變換,正交變換,合同變換,這些變換都是可逆的,其中正交變換即是相似變換又是合同變換.

普通坐標(biāo)的線性變換不一定是可逆的(要看坐標(biāo)變換的矩陣是否可逆);(2)

微分算子法數(shù)學(xué)二并不要求(數(shù)學(xué)一也不必掌握),

此方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程,按照常規(guī)方法很容易可以求解,

其中特征根為i,

-i,

特解為

-x,

因此通解為

y

=

c_1

cosx

+

c_2

sinx

-x;(3)

你的題目估計(jì)有問(wèn)題.

圓的方程可能出錯(cuò)了,

否則若按照極坐標(biāo)的思想,

圓心不在直線

y

=

x

上.

此題我的判斷是圓心在直線

y=x

上.

有兩種選擇:

(i)

可使用型心坐標(biāo)公式(稍微麻煩);

(ii)

使用廣義形式是極坐標(biāo)變換:

x

-

x_0

=

rcos\theta;

y-y_0=

rsin\theta,

\theta的范圍為

\pi/4

到

\pi

3/4,

r的范圍為

0

到圓的半徑.

求可逆變換矩陣用不用正交化

對(duì)于線性空間VN，任取一組基X=（x1，x2，x3...xn）

同時(shí)一定存在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基E=（e1，e2，e3...en）

且兩者間存在C使得X=EC，且由于XE都是VN的基故detC≠0

考慮正交變換T，T（E）=EA，根據(jù)定理，A一定是正交矩陣即detA≠0

對(duì)于任意的基X，T（X）=XB，有T（X）=T（EC）=T（E）C=EAC=XB=ECB

故B=C-1AC，由于AC都是滿秩行列式不為0，B必然也滿秩detB≠0

所以B可逆，即任意基下矩陣可逆

線性變換可逆的條件

可逆線性變換和正交變換沒(méi)有區(qū)別。當(dāng)然標(biāo)準(zhǔn)型要求更高一些，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型的過(guò)程稱(chēng)為正交變換，感覺(jué)正交變換算是非退化的線性替換的一種特殊情況。

在線性代數(shù)中，正交變換是線性變換的一種，它從實(shí)內(nèi)積空間V映射到V自身，且保證變換前后內(nèi)積不變。因?yàn)橄蛄康哪ｉL(zhǎng)與夾角都是用內(nèi)積定義的，所以正交變換前后一對(duì)向量各自的模長(zhǎng)和它們的夾角都不變。

注意事項(xiàng)

設(shè)A是n維歐氏空間V的一個(gè)正交變換σ在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣。

若丨A丨=1，則稱(chēng)σ為第一類(lèi)正交變換，包括空間內(nèi)的平移、旋轉(zhuǎn)以及二者的復(fù)合。

若丨A丨=-1，則稱(chēng)σ為第二類(lèi)正交變換，包括空間內(nèi)的反射以及反射變換與第一類(lèi)正交變換的復(fù)合。

第一類(lèi)正交變換不改變直角坐標(biāo)系的定向，即左（右）手系變換后仍是左（右）手系。