不等式的定理怎么證明 不等式的基本定理如何證明
不等式證明怎么學(xué)?不等式的基本定理如何證明?怎么證明托勒密不等式?怎樣用同倫不等式證明?絕對值三角不等式定理證明過程,求解析,高中數(shù)學(xué)不等式證明的八種方法。
本文導(dǎo)航
不等式證明怎么學(xué)?
解一元二次不等式:概念含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的的不等式叫做一元二次不等式,它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0(a不等于0),其中ax^2+bx+c實(shí)數(shù)域上的二次三項(xiàng)式。
一元二次不等式的解法 1)當(dāng)V("V"表示判別是,下同)=b^2-4ac>=0時,二次三項(xiàng)式,ax^2+bx+c有兩個實(shí)根,那么ax^2+bx+c總可分解為a(x-x1)(x-x2)的形式。這樣,解一元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個一元一次不等式組的解集的并集。
還是舉個例子吧。
2x^2-7x+6<0
利用十字相乘法
2 -3
1 -2
得(2x-3)(x-2)<0
然后,分兩種情況討論:
一、2x-3<0,x-2>0
得x<1.5且x>2。不成立
二、2x-3>0,x-2<0
得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集為:1.5<x<2。
另外,你也可以用配方法解二次不等式:
2x^2-7x+6
=2(x^2-3.5x)+6
=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6
=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6
=2(x-1.75)^2-0.125<0
2(x-1.75)^2<0.125
(x-1.75)^2<0.0625
兩邊開平方,得
x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25
x<2且x>1.5
得不等式的解集為1.5<x<2
若(a-1)X>-a+1的解集是x<-1則a的取值范圍是__
已知不等式4x-a大于或等于0的正整數(shù)解是1,2,則a的取值范圍是__
若不等式1/3(x-m)>2-m的解集為x>2則m的取值范圍是__
不等式(a-2)x>1的解集為x>1/a-2,則a的取值范圍是__
如果a<2,那么不等式ax>2x+5的解集為__
已知方程x+b=5的解為負(fù)數(shù)則b的取值范圍是__
若不等式2-mx>5-2x的解集是x<3/2-m,則m的取值范圍是__
若不等式x+2>m的解集為-1<x<2,則m的取值范圍是_
x-1<n
方程組x+y=1的解為x,y,且x>0,y<0則a的取值范圍是-
x-y=2a
不等式的基本定理如何證明
a+b≥2√ab
∵(a+b)2=a2+2ab+b2
(2√ab)2=4ab
a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0
∵√ab≥0
∴a+b≥2√ab
怎么證明托勒密不等式
托勒密定理
托勒密(Ptolemy,約公元85~165年)是古代天文學(xué)的集大成者.一般幾何教科書中的“托勒密定理”(圓內(nèi)接四邊形的對邊積之和等于對角線之積),實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是從他的書中摘出。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).
定理
如果四邊形內(nèi)接于圓,那么它的兩對對邊的乘積之和等于它的對角線的乘積.
證
設(shè)四邊形ABCD有外接圓O,AC和BD相交于P,∠CPD=α(圖3-107).若四邊形ABCD的四邊都相等,則四邊形ABCD為圓內(nèi)接菱形,即正方形,結(jié)論顯然成立.若四邊不全相等,不失一般性,設(shè)
‖BD,于是△ABD≌△EDB,從而AD=BE.
又
而
S四邊形ABCD=S四邊形BCDE,
所以
即
(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα.
由于
∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC,
所以
AD×BC+AB×CD=AC×BD.
說明
(1)托勒密定理可以作如下推廣:“在凸四邊形ABCD中,
AB×CD+AD×BC≥AC×BD.
當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形時,等號成立.”
由此可知,托勒密定理的逆定理也成立.
(2)托勒密定理的證明方法很多,這里采用的是面積證法.還可采用相似三角形或余弦定理證明,請讀者自行完成.
怎樣用同倫不等式證明?
比較法
比較法是證明不等式的最基本方法,具體有"作差"比較和"作商"比較兩種?;舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式(或分式)時,常用作差比較,當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式(或冪指數(shù)式時常用作商比較)
例1已知a+b≥0,求證:a3+b3≥a2b+ab2
分析:由題目觀察知用"作差"比較,然后提取公因式,結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù),從而達(dá)到證明不等式的目的,步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。
∵(a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
證明: =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)2≥0a+b≥0
∴(a-b)2(a+b)≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設(shè)a、b∈R+,且a≠b,求證:aabb>abba
分析:由求證的不等式可知,a、b具有輪換對稱性,因此可在設(shè)a>b>0的前提下用作商比較法,作商后同"1"比較大小,從而達(dá)到證明目的,步驟是:10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明:由a、b的對稱性,不妨解a>b>0則
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0,∴ab1,a-b0
∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba>1,又abba>0∴aabb>abba
練習(xí)1 已知a、b∈R+,n∈N,求證(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)
基本不等式法
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法,常用的基本不等式及 變形有:
(1)若a、b∈R,則a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號)
(2)若a、b∈R+,則a+b≥ 2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號)
(3)若a、b同號,則 ba+ab≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號)
例3 若a、b∈R, |a|≤1,|b|≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析:通過觀察可直接套用: xy≤x2+y22
證明: ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1,當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時,等號成立
練習(xí)2:若 ab0,證明a+1(a-b)b≥3
綜合法
綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā),根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。
例4,設(shè) a0,b0,a+b=1,證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252
證明:∵ a0,b0,a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252
練習(xí)3:已知a、b、c為正數(shù),n是正整數(shù),且f (n)=1gan+bn+cn3
求證:2f(n)≤f(2n)
分析法
從理論入手,尋找命題成立的充分條件,一直到這個條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時,便可推出原不等式成立,這種方法稱為分析法。
例5:已知a0,b0,2ca+b,求證:c-c2-ab<a<c+c2-ab
分析:觀察求證式為一個連鎖不等式,不易用比較法,又據(jù)觀察求證式等價于 |a-c|<c2-ab也不適用基本不等式法,用分析法較合適。
要證c-c2-ab<a<c+c2-ab
只需證-c2-ab<a-c<c2-ab
證明: 即證 |a-c|<c2-ab
即證 (a-c)2<c2-ab
即證 a2-2ac<-ab
∵a>0,∴即要證 a-2c<-b 即需證2+b<2c,即為已知
∴ 不等式成立
練習(xí)4:已知a∈R且a≠1,求證:3(1+a2+a4)>(1+a+a2)2
放縮法
放縮法是在證明不等式時,把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小,利用不等式的傳遞性來證明不等式,是證明不等式的重要方法,技巧性較強(qiáng)常用技巧有:(1)舍去一些正項(xiàng)(或負(fù)項(xiàng)),(2)在和或積中換大(或換?。┠承╉?xiàng),(3)擴(kuò)大(或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑取?/p>
例6:已知a、b、c、d都是正數(shù)
求證: 1<ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<2
分析:觀察式子特點(diǎn),若將4個分式商為同分母,問題可解決,要商同分母除通分外,還可用放縮法,但通分太麻煩,故用放編法。
證明:∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab<a+mb+m(0<a<b,m>0)可得:ba+b+c<b+da+b+c+dcb+c+d<c+aa+b+c+ddc+d+a<d+bc+d+a+dad+a+b<a+ca+b+c+d
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2
綜上知:1<ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<2
練習(xí)5:已知:a<2,求證:loga(a+1)<1
6換元法
換元法是許多實(shí)際問題解決中可以起到化難為易,化繁為簡的作用,有些問題直接證明較為困難,若通過換元的思想與方法去解就很方便,常用于條件不等式的證明,常見的是三角換元。
(1)三角換元:
是一種常用的換元方法,在解代數(shù)問題時,使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題,充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x,求證0<A<1
證明: ∵x,y∈R+, 且x-y=1,x=secθ , y=tanθ ,(0<θ<xy )
∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0<θ<x2,∴ 0<s2mθ <1因此0<A<1
復(fù)習(xí)6:已知1≤x2+y2≤2,求證:12 ≤x2-xy+y2≤3
(2)比值換元:
對于在已知條件中含有若干個等比式的問題,往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值,然后代入求證式,即可。
例8:已知 x-1=y+12=z-23,求證:x2+y2+z2≥4314
證明:設(shè)x-1=y+12=z-23=k
于是x=k+1,y=zk-1,z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+514)2+4314≥4314
反證法
有些不等式從正面證如果不好說清楚,可以考慮反證法,即先否定結(jié)論不成立,然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理,逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論,從而肯定原有結(jié)論是正確的,凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題,適宜用反證法。
例9:已知p3+q3=2,求證:p+q≤2
分析:本題已知為p、q的三次 ,而結(jié)論中只有一次 ,應(yīng)考慮到用術(shù)立方根,同時用放縮法,很難得證,故考慮用反證法。
證明:解設(shè)p+q>2,那么p>2-q
∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3
將p3+q3 =2,代入得 6q2-12q+6<0
即6(q-1)2<0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
練習(xí)7:已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0.
求證:a>0,b>0,c>0
數(shù)學(xué)歸納法
與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,通??紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。
例10:設(shè)n∈N,且n>1,求證: (1+13)(1+15)…(1+12n-1)>2n+12
分析:觀察求證式與n有關(guān),可采用數(shù)學(xué)歸納法
證明:(1)當(dāng)n=2時,左= 43,右=52
∵43>52∴不等式成立
(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈n)時不等式成立,即(1+13)(1+15)…(1+12k-1)>2k+12
那么當(dāng)n=k+1時,(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)>2k+12·(1+12k+1)①
要證①式左邊> 2k+32,只要證2k+12·
2k+22k+1>2k+32②
對于②〈二〉2k+2> 2k+1·2k+3
〈二〉(2k+2)2> (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4> 4k2+8k+3
〈二〉4>3 ③
∵③成立 ∴②成立,即當(dāng)n=k+1時,原不等式成立
由(1)(2)證明可知,對一切n≥2(n∈N),原不等式成立
練習(xí)8:已知n∈N,且n>1,求證: 1n+1+1n+2+…+12n> 1324
構(gòu)造法
根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證,通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等,達(dá)到證明的目的,這種方法則叫構(gòu)造法。
1構(gòu)造函數(shù)法
例11:證明不等式:x1-2x <x2 (x≠0)
證明:設(shè)f(x)= x1-2x- x2 (x≠0)
∵f (-x)
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- [1-(1-2x)]+x2=x1-2x-x+x2
=f(x)
∴f(x)的圖像表示y軸對稱
∵當(dāng)x>0時,1-2x<0 ,故f(x)<0
∴當(dāng)x<0時,據(jù)圖像的對稱性知f(x)<0
∴當(dāng)x≠0時,恒有f(x)<0 即x1-2x<x2(x≠0)
練習(xí)9:已知a>b,2b>a+c,求證:b- b2-ab<a<b+b2-ab
2構(gòu)造圖形法
例12:若f(x)=1+x2 ,a≠b,則|f(x)-f(b)|< |a-b|
分析:由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1,x),0(0,0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2
于設(shè)A(1,a),B(1,b)則0A= 1+a2
絕對值三角不等式定理證明過程,求解析
原式兩邊平方開根號 整理得 √<x^2+y^2+(-2|x||y|)>≤√<x^2+y^2+(±2xy)>≤√<x^2+y^2+(2|x||y|)> 要證不等號成立 即證 -2|x||y|≤±2xy≤2|x||y| 易知上不等式成立 所以原不等式也成立。
個實(shí)數(shù)的絕對值的幾何意義為:在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離。正數(shù)的絕對值等于它本身, 0的絕對值還是0, 負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù),對于|a|,當(dāng)a>0時,|a|=a,距離為正,此時表示a的點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè);當(dāng)a=0時,|a|=0,距離為0,此時表示a的點(diǎn)即為原點(diǎn)。
當(dāng)a<0時,|a|=-a,距離為負(fù),此時表示a的點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)。
舉例:|-2.5|指在數(shù)軸上-2.5與原點(diǎn)的距離,這個距離是2.5,所以-2.5的絕對值是-2.5。同樣,指在數(shù)軸上表示2與原點(diǎn)的距離,這個距離是2,所以2的絕對值是2。
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