曲線曲面積分求的什么 二重積分和第一型曲面積分的區(qū)別
曲線曲面積分的意義及其與重積分的關系,曲線和曲面積分是什么?二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的意義都是什么?曲線積分和曲線長度的關系是什么?曲面積分和曲面面積的關系是什么?曲線曲面積分的計算,說一下曲面積分,二重積分,三重積分,曲線積分分別有什么意義?
本文導航
曲線積分和普通積分的區(qū)別
首先推薦你看看美國人寫的《托馬斯微積分》(有中文版),論述清晰直觀,很易看懂,絕對對你有幫助。
第一類曲線積分本質上就是在曲線上對標量求和。
例如:設有一曲線形構件占xOy面上的一段曲線 ,設構件的質量分布函數(shù)為ρ(x,y),設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續(xù),求構件的質量。對于密度均勻的物件可以直接用ρS求得質量;
對于密度不均勻的物件,就需要用到曲線積分,每小段曲線的質量為dm=ρ(x,y)ds;對其求和,所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑,∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。
第二類曲線積分本質上就是在曲線上對矢量的投影求和。
典型的例子就是力的做功。這個你自己在書上找例子吧,用文字難說清。
第一類曲面積分本質上就是在曲面上對標量求和。
例子:設有一構件占空間曲面∑,其質量分布密度函數(shù)為(密度分布)ρ(x,y,z),求構件的質量。
同樣,對于密度不均勻的物件,也不可以直接利用ρS(這里的S代表的是面積,下同)處理問題的思想方法類似于“分布在平面區(qū)域的質量問題,就需要利用曲面積分”;
每小片的質量dm=ρ(x,y,z)*ds;其和:m=∫ρ(x,y,z)*ds,就是對面積的曲面積分。
第二類曲面積分本質上就是在曲面上對矢量的投影求和。
典型的例子就是求電力線的“通量”,這個也請你自己在書上找例子吧,用文字難說清。
重積分是計算上述各積分的手段。上述各積分的求解都要化為一個重積分問題,再對其進行計算。
祝你考研成功?。。?/p>
^_^
曲面積分的上下側怎么計算
這是微積分的一部分
分為第一型曲線積分 第一型曲面積分
和第二型曲線積分 和第二型曲面積分
其中設計的有GREEN 公式 和GAUSS公式 還有 STOKES公式
這是高等數(shù)學微積分中的課程
通過曲線積分,人們就可以通過計算而得到曲線所圍的面積;通過曲面積分,人們就可以通過計算而得到曲面所圍的體積??傊?,就是為了求得其面積和體積,這就是其實際意義
二重積分曲面的面積公式推導
lz首先要知道,積分的意義就是求和。
舉個物理上的例子,比如要求總電荷,需要知道電荷分布f(r)。
如果是分布在一個平面上的,就是二重積分r可以用x,y表示。
如果是一個空間分布,就是三重積分。
對于曲線積分就是圍繞一個路徑求和,重新?lián)Q個例子。比如一條密度不均勻的繩子要求它的總質量。就是一個曲線積分了。
這些都要自己體會的。
曲面面積積分公式
假設曲線為L,且長度為y,那么長度y=∫ds ,長度也就是第一類曲線積分y=∫f(x,y)ds 在f(x,y)=1時候的值。(注:當f(x,y)≠1,則表示以這條曲線L為準線的柱面的面積,且這個柱面的高就是h=f(x,y))
同理,假設曲面的面積為S,那么S=∫∫ds, 也就是第一類曲面積分S=∫∫f(x,y,z)ds 在f(x,y,z)=1 時候的值。
第一型曲線積分的計算方法
從概念上講,第一類的,都是和方向無關的,對標量的積分。第二類的,都是和方向有關的,對某種意義上的矢量的積分。具體地說:第一類曲線積分是對長度的積分,第二類曲線積分是對坐標的積分,講究曲線上演某方向的變化了。第一類區(qū)面積分,是對面積的積分,第二類區(qū)面積分是對二維坐標的積分,強調面積朝向某側的情況。 從計算上講,第一類的計算要求出長度或者面積微元的表示式,因此計算公式似乎復雜,但是記住公式之后,因為不用考慮方向,因此實際上簡單。第二類的,不用考慮微元的表示式,直接就是對坐標積分,形式上簡單,不過,在具體到某個線或者面的時候,要考慮是否要根據(jù)方向的變化分成不同的小段,在每個方向一致的小段上,還要考慮正負號,是否為零等等,實際上相對麻煩許多。 關于這兩類積分(實際上是四類,不過我的稱呼是分別針對面,線來說)實際上都有統(tǒng)一的公式。兩類曲線積分可以通過方向余弦實現(xiàn)統(tǒng)一。兩類區(qū)面積分可以通過切面的法向量方向余弦實現(xiàn)統(tǒng)一。 此處的學習重點除了上述內(nèi)容之外,要特別注意 格林公式,高斯公式,斯托克斯公式,拉普拉斯算子,拉普拉斯反算子。這些在某些專業(yè)中應用更廣泛。
二重積分和第一型曲面積分的區(qū)別
lz首先要知道,積分的意義就是求和。
舉個物理上的例子,比如要求總電荷,需要知道電荷分布f(r)。
如果是分布在一個平面上的,就是二重積分r可以用x,y表示。
如果是一個空間分布,就是三重積分。
對于曲線積分就是圍繞一個路徑求和,重新?lián)Q個例子。比如一條密度不均勻的繩子要求它的總質量。就是一個曲線積分了。
這些都要自己體會的。