什么是標(biāo)準(zhǔn)二次型 二次型怎么轉(zhuǎn)換為規(guī)范型

關(guān)于二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，關(guān)于二次型標(biāo)準(zhǔn)型和規(guī)范型，線性代數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范型的區(qū)別 請(qǐng)?jiān)敿?xì)說(shuō)明，謝謝了，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型和規(guī)范性有什么區(qū)別？二次型的意義是什么?有什么應(yīng)用？二次型的標(biāo)準(zhǔn)型唯一嗎？

本文導(dǎo)航

• 二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的一般步驟
• 二次型的定義及性質(zhì)
• 線性代數(shù)如何判斷線性有關(guān)和無(wú)關(guān)
• 怎么判斷二次型是不是標(biāo)準(zhǔn)型
• 二次型的簡(jiǎn)單介紹
• 二次型怎么轉(zhuǎn)換為規(guī)范型

二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的一般步驟

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的

但其正負(fù)慣性指數(shù)是唯一確定的

即標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)正負(fù)個(gè)數(shù)不變

這就唯一確定它的規(guī)范形

比如:

f = x1^2 - 2x2^2

令 y1=x1, y2=√2x2, 則 f = y1^2 - y2^2

g = 3x1^2 - 5x2^2

令 y1=√3x1, y2=√5x2, 則 g = y1^2 - y2^2

二次型的定義及性質(zhì)

求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形可通過(guò):

1. 配方法 (這個(gè)常用), X=PY, P可逆

2. 特征值特征向量法 (這種方法比較麻煩. 除非題目要求正交變換時(shí)用此方法), X=QY, Q是正交矩陣

3. 初等行列變換 (這個(gè)同1是可逆變換)

若題目只要求出規(guī)范型, 用配方法比較簡(jiǎn)單.

另, 規(guī)范型不是對(duì)應(yīng)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形, 規(guī)范型中有1和-1.

例: f= y1^2+3y2^2-5y3^2

令 z1=y1,

z2=√3y2,

z3=√5y3.

則 f = z1^2+z2^2 - z3^2.

線性代數(shù)如何判斷線性有關(guān)和無(wú)關(guān)

他們的區(qū)別：

1、標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)在采用正交變換的時(shí)間，平方項(xiàng)的系數(shù)常用其特征值

規(guī)范形中平方項(xiàng)的系數(shù)都是 1 或 -1,正負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)決定于特征值正負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)

2、由標(biāo)準(zhǔn)形到規(guī)范形, 只需將標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的正系數(shù)改為 1, 負(fù)系數(shù)改為 -1

正系數(shù)項(xiàng)放在前 即可

怎么判斷二次型是不是標(biāo)準(zhǔn)型

1.系數(shù)表示這一項(xiàng)的權(quán)重； 2.標(biāo)準(zhǔn)型和規(guī)范型的區(qū)別在于：規(guī)范性的所有項(xiàng)都是平方項(xiàng)，而標(biāo)準(zhǔn)型除滿(mǎn)足這個(gè)條件外，其所有平方項(xiàng)的系數(shù)都為1; 3.二次型經(jīng)滿(mǎn)秩線性變換，再通過(guò)滿(mǎn)秩變換就得到了規(guī)范型。具體如何求解，建議你翻翻書(shū)上的例題看看。

二次型的簡(jiǎn)單介紹

應(yīng)用領(lǐng)域：線性代數(shù)理論有著悠久的歷史和豐富的內(nèi)容。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是電子計(jì)算機(jī)使用的日益普遍，作為重要的數(shù)學(xué)工具之一，線性代數(shù)的應(yīng)用已經(jīng)深入到了自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等各個(gè)領(lǐng)域。

二次型化簡(jiǎn)的進(jìn)一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出現(xiàn)在歐拉的著作中，拉格朗日在其關(guān)于線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個(gè)概念。

而三個(gè)變數(shù)的二次型的特征值的實(shí)性則是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。

歷史：

二次型的系統(tǒng)研究是從18世紀(jì)開(kāi)始的，它起源于對(duì)二次曲線和二次曲面的分類(lèi)問(wèn)題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的形狀，這個(gè)問(wèn)題是在18世紀(jì)引進(jìn)的。

柯西在其著作中給出結(jié)論：當(dāng)方程是標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，二次曲面用二次型的符號(hào)來(lái)進(jìn)行分類(lèi)。然而，那時(shí)并不太清楚，在化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，為何總是得到同樣數(shù)目的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)。西爾維斯特回答了這個(gè)問(wèn)題，他給出了n個(gè)變數(shù)的二次型的慣性定律，但沒(méi)有證明。

二次型怎么轉(zhuǎn)換為規(guī)范型

二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一。

一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一，規(guī)范型唯一。 求標(biāo)準(zhǔn)型的方法就是按照實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的步驟，把二次型的矩陣作為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，求處Q，然后做正交變換x=Qy（xy為列向量），把向量組中的每個(gè)xi根據(jù)Q替換為yi，即可得到標(biāo)準(zhǔn)型。

若二次型只有平方項(xiàng)，則稱(chēng)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

如果標(biāo)準(zhǔn)型中，系數(shù)只有1，-1和0，那么稱(chēng)為二次型的規(guī)范型，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型中，1，-1，0的個(gè)數(shù)是由正負(fù)慣性指數(shù)決定的，而合同的矩陣正負(fù)慣性指數(shù)相同，因此相互合同的矩陣乘以相同的向量組得到的二次型的規(guī)范型一定相同。

此外，求一個(gè)二次型的正負(fù)慣性指數(shù)，是通過(guò)求特征值得到，為正數(shù)的特征值的個(gè)數(shù)就是正慣性指數(shù)，即規(guī)范型中1的個(gè)數(shù)。