矩陣等價是什么意思 矩陣等價與可交換
什么叫矩陣等價？矩陣等價、向量組等價，充要條件分別是什么？什么叫矩陣等價？兩個矩陣等價是什么意思，怎么定義的.兩矩陣等價和相？什么是矩陣等價有這個定義么？矩陣等價是什么意思？
本文導(dǎo)航
矩陣等價與可交換
你好！廣泛意義的等價，是集合在某種變換下保持不變性。如：矩陣A與稱為等價的，如果B可以是A經(jīng)過一系列初等變換得到。矩陣在初等變換下是行列式不變的。在線性代數(shù)中，合同、相似都是等價關(guān)系
矩陣相乘可交換的充要條件
不要信口開河?！熬仃嚨葍r”是最簡單的關(guān)系?！愋途仃嘇與B
等價。即，矩陣A可經(jīng)初等變換轉(zhuǎn)化為B等價條件，R（A）=R（B）“向量組等價”是最復(fù)雜的關(guān)系?！獌上蛄拷M等價，即，兩向量組可以相互線性表示。等價條件，兩向量組秩相等，且其中一組向量可以被另一組向量線性表示。復(fù)雜在于，一個向量能否被某組向量線性表示，這是一個線性方程組有無解的問題。
矩陣等價的標志
定義:若由A經(jīng)過一系列初等變換可得到矩陣B
，則稱A與B等價.
若A與B等價,則B與A等價.
若A與B等價,B與C等價,則A與C等價.
A與B等價<==>秩(A)=秩(B)
A與B等價<==>A與B有相等的等價標準形
A與B等價<==>存在可逆矩陣P,Q，使得PAQ＝B
兩個矩陣等價得出的結(jié)論
a經(jīng)過一系列初等變換等到b，稱a與b等價，也就是存在可逆陣pq使b=paq，那么ab秩相等。而ab相似是存在可逆陣p使b=p－1ap，由此可見相似的結(jié)論強于等價，具有的性質(zhì)更多了。比如特征值相同，行列式相同
矩陣等價跟向量等價的區(qū)別
矩陣等價的幾何意義
兩矩陣等價的充要條件是"兩矩陣秩相同,且矩陣的大小相同"，而秩相同是矩陣相似的必要條件，所以矩陣相似一定等價但是矩陣等價不一定相似，例如
1 1 ；0 1 和 1 0 ；0 1 兩者秩相同等價，但是不相似
兩矩陣合同的判斷條件有兩層，首先兩矩陣都是二次型也就是對稱矩陣，其次是這兩個大小相同的"矩陣的特征值取正取負取零的個數(shù)一致"，因為矩陣相似時矩陣的特征值相同，所以兩"對稱矩陣"相似時必然合同，但矩陣合同不一定相似，例如
1 0 ；0 2 和 2 0 ；0 3 兩者秩正負情況一致且是對稱矩陣合同，但不相似
兩矩陣相似的條件也有兩層，一是大小相同的兩方陣特征值個數(shù)取值相同，二是相同的特征值對應(yīng)的非線性相關(guān)特征向量的個數(shù)相同，例如
1 0 ；0 2 和 2 0 ；0 1 兩者皆為方陣特征值相同且，相同特征值對應(yīng)特征向量情況一致
理論上由于矩陣等價合同相似對于矩陣大小形狀各有不同要求，所以具體情況應(yīng)當具體分析
實際應(yīng)用過程中，考研數(shù)學(xué)一般把矩陣限定為實對稱矩陣，這時矩陣相似對于矩陣合同和等價是一個強條件，利用矩陣相似能夠推出矩陣合同和矩陣等價，合同和等價又可進一步推出矩陣的正定性質(zhì)和待求方程組解的情況
簡單記憶方法：等價->秩，合同->特征值正負，相似->特征值、特征向量
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