數(shù)學(xué)中極限的定義是什么 極限的定義知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)的極限是什么？如何理解極限定義？高等數(shù)學(xué)的極限定義是什么意思？極限的定義是什么？極限的定義是什么？極限的定義是什么？

本文導(dǎo)航

• 數(shù)學(xué)里的極限怎么求
• 極限的定義知識(shí)點(diǎn)
• 高等數(shù)學(xué)的極限怎么求
• 目前極限的定義嚴(yán)格嗎
• 極限的精確定義怎么理解
• 什么叫極限通俗理解

數(shù)學(xué)里的極限怎么求

極限是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念。在數(shù)學(xué)中，如果某個(gè)變化的量無限地逼近于一個(gè)確定的數(shù)值，那么該定值就叫做變化的量的極限。

設(shè)|Xn|為一無窮數(shù)列，如果存在常數(shù)a對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)的一切Xn，均有不等式|Xn - a|<ε都立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列|Xn|的極限，或稱數(shù)列{Xn}收斂于a。記為 　　lim Xn = a 或Xn→a（n→∞） 　　如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列發(fā)散。

1.唯一性：若數(shù)列的極限存在，則極限值是唯一的，且其子數(shù)列的極限與原數(shù)列的相等； 　　2.有界性：如果一個(gè)數(shù)列{xn}收斂（有極限），那么這個(gè)數(shù)列{xn}一定有界。 　　但是，如果一個(gè)數(shù)列有界，這個(gè)數(shù)列未必收斂。例如{xn}：1，-1，1，-1，……（-1）^n+1，…… 　　3.保號(hào)性：如果一個(gè)數(shù)列{xn}收斂于a，且a>0（或a<0)，那么存在正整數(shù)N>0，當(dāng)n>N時(shí)，都有xn>0(或xn<0)。 　　4.收斂數(shù)列與其子列間的關(guān)系：（通俗講：改變數(shù)列的有限項(xiàng)，不改變數(shù)列的極限。）如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任意子數(shù)列也收斂，且極限也是a。

極限的定義知識(shí)點(diǎn)

大N表示一個(gè)坎兒，Xn表示按一個(gè)規(guī)律計(jì)算出來的X值，第1個(gè)X記為X1、第2個(gè)X記為X2、第n個(gè)X記為Xn，這里面的1、2、3……n都是正整數(shù)，不管ε多小，當(dāng)n>N，越過了這個(gè)坎兒以后，所有的X值減去a，都小于那個(gè)ε，這樣就認(rèn)為X收斂于a

擴(kuò)展資料：

用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：

對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法正確地構(gòu)思一個(gè)與它的變化有關(guān)的另外一個(gè)變量，確認(rèn)此變量通過無限變化過程的’影響‘趨勢(shì)性結(jié)果就是非常精密的約等于所求的未知量；用極限原理就可以計(jì)算得到被考察的未知量的結(jié)果。

極限思想是微積分的基本思想，是數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)（為0得到極大值）以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科，并且計(jì)算結(jié)果誤差小到難于想像，因此可以忽略不計(jì)。

極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中，有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從“直線構(gòu)成形”認(rèn)識(shí)“曲線構(gòu)成形”，從量變?nèi)フJ(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)精確。

“無限”與’有限‘概念本質(zhì)不同，但是二者又有聯(lián)系，“無限”是大腦抽象思維的概念，存在于大腦里?！坝邢蕖笔强陀^實(shí)際存在的千變?nèi)f化的事物的“量”的映射，符合客觀實(shí)際規(guī)律的“無限”屬于整體，按公理，整體大于局部思維。

“變”與“不變”反映了事物運(yùn)動(dòng)變化，與相對(duì)靜止，兩種不同狀態(tài)，但它們?cè)谝欢l件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”。

例如，物理學(xué)，求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，用初等方法無法解決，困難在于變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度是變量不是常量。為此，人們先在小的時(shí)間間隔范圍內(nèi)用“勻速”計(jì)算方法代替“變速”狀態(tài)的計(jì)算，求其平均速度，把較小的時(shí)間內(nèi)的瞬時(shí)速度定義為求“速度的極限”，是借助了極限的思想方法，從“不變”形式來尋找“某一時(shí)刻變”的“極限”的精密結(jié)果。

參考資料：百度百科-極限

高等數(shù)學(xué)的極限怎么求

定義：

設(shè){Xn}為一無窮數(shù)列，如果存在常數(shù)a對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)的一切Xn，均有不等式|Xn - a|<ε成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{Xn}的極限，或稱數(shù)列{Xn}收斂于a。記為lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）。

’極限思想’方法，是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是‘?dāng)?shù)學(xué)分析’與在‘初等數(shù)學(xué)’的基礎(chǔ)上有承前啟后連貫性的、進(jìn)一步的思維的發(fā)展。

數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體的體積等問題），正是由于其采用了‘極限’的‘無限逼近’的思想方法，才能夠得到無比精確的計(jì)算答案。

人們通過考察某些函數(shù)的一連串?dāng)?shù)不清的越來越精密的近似值的趨向，趨勢(shì)，可以科學(xué)地把那個(gè)量的極準(zhǔn)確值確定下來，這需要運(yùn)用極限的概念和以上的極限思想方法。

參考資料極限（數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)）百度百科

目前極限的定義嚴(yán)格嗎

“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)”的意思。

極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”（當(dāng)然也可以用其他符號(hào)表示）。

由來

與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的大腦抽象思維的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代。

例如，祖國(guó)劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀圖形研究的基礎(chǔ)上的一種原始的可靠的“不斷靠近”的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對(duì)’無限‘的恐懼”，他們避免明顯地人為“取極限”，而是借助于間接證法——?dú)w謬法來完成了有關(guān)的證明。

到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。

極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”（當(dāng)然也可以用其他符號(hào)表示）。

極限的精確定義怎么理解

極限的定義是：

“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)”的意思。

數(shù)學(xué)中的“極限”指：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，此變量在變大（或者變小）的永遠(yuǎn)變化的過程中，逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”（“永遠(yuǎn)不能夠等于A，但是取等于A‘已經(jīng)足夠取得高精度計(jì)算結(jié)果）的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”、其有一個(gè)“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢(shì)”。

極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”（當(dāng)然也可以用其他符號(hào)表示）。

由來

與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的大腦抽象思維的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，例如，祖國(guó)劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀圖形研究的基礎(chǔ)上的一種原始的可靠的“不斷靠近”的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對(duì)’無限‘的恐懼”，他們避免明顯地人為“取極限”，而是借助于間接證法——?dú)w謬法來完成了有關(guān)的證明。

到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。

什么叫極限通俗理解

是指無限趨近于一個(gè)固定的數(shù)值。

“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)”的意思。

數(shù)學(xué)中的“極限”指：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，此變量在變大（或者變?。┑挠肋h(yuǎn)變化的過程中，逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”（“永遠(yuǎn)不能夠等于A，但是取等于A‘已經(jīng)足夠取得高精度計(jì)算結(jié)果）的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”、其有一個(gè)“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢(shì)”。

極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”（當(dāng)然也可以用其他符號(hào)表示）。

性質(zhì)

1、唯一性：若數(shù)列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數(shù)列的相等。

2、有界性：如果一個(gè)數(shù)列’收斂‘（有極限），那么這個(gè)數(shù)列一定有界。

但是，如果一個(gè)數(shù)列有界，這個(gè)數(shù)列未必收斂。例如數(shù)列：“1，－1，1，－1，（-1)n+1”。

3、保號(hào)性：若(或＜0)，則對(duì)任何(a<0時(shí)則是)，存在N>0，使n>N時(shí)有(相應(yīng)的)。

4、保不等式性：設(shè)數(shù)列｛xn}與｛yn}均收斂。若存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有，則(若條件換為，結(jié)論不變）。