斯托克斯公式怎么用 請問大家關(guān)于高數(shù)中斯托克斯公式的理解,我有一個疑問
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本文導(dǎo)航
- 斯托克斯公式好復(fù)雜,有什么用?
- 斯托克斯公式要求曲線封閉嗎
- 斯托克斯公式的理解問題
- 請問大家關(guān)于高數(shù)中斯托克斯公式的理解,我有一個疑問
- 高數(shù)題,用斯托克斯公式計算曲線積分
- 斯托克斯公式轉(zhuǎn)化
斯托克斯公式好復(fù)雜,有什么用?
1斯托克斯公式由于流體的粘滯性,固體在流體中運動會受到兩種阻力,一種是由于層流體附著在固體表面,層流體和鄰層流體間的內(nèi)摩擦力;另一種是為壓強阻力,壓強阻力的實質(zhì)是尾隨運動著的固體后面的流體中,有渦旋產(chǎn)生.固體相對于流體的速度小時渦旋還未形成,壓強阻力可被忽略,這時,阻力可視為只有前一種.半徑為r的球形物體,在粘滯系數(shù)為η的流體中,以速度v運動時,所受阻力為:f=6πηrv(1)……………………………這就是斯托克斯公式.2斯托克斯公式的應(yīng)用實例例1,有一半徑為r,密度為ρ的小球,在密度為ρ(ρ<ρ)、粘滯系數(shù)為η的靜止流體中下落,若所受阻力遵從斯托克斯公式,試求小球的最大速度.解:最初小球在重力G=43πr3ρg和浮力F=43πr3ρg的作用下加速下落,速度逐漸增加,阻力按式(1)逐漸增大,直到三力平衡(圖a)時速度達到最大,小球勻速下落.由平衡條件,得:F+f=G即43πr3ρg+6πηrv0=43πr3ρg故v0=29(ρ-ρ)ηgr2(2)
斯托克斯公式要求曲線封閉嗎
光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線,若函數(shù)P,Q,R在S(連同L)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則斯托克斯公式成立。
斯托克斯公式的理解問題
我不知道你想問什么,因為所有積分的值都與坐標系無關(guān),那是因為有所謂的“微分的形式不變性”,或者講“換元法”。換元法說的就是一個坐標內(nèi)的積分,可以在另一個(微分等價的)坐標內(nèi)來做。
而旋度也是與坐標無關(guān)的定義,雖然在有坐標的時候,它按照坐標來定義,但是不管你怎么定義,對E^3的向量場X,設(shè)和它對偶的一次形式場為w,也就是w(Y)
=
,dw是二次形式場,設(shè)Z是和*dw(*是Hodge
star
operator)對偶的那個向量場,那么Z就是X的旋度。你可以驗證下這個定義和一般基于坐標的定義一致,并且滿足上面給的方程(實際上上面給的方程也用來定義旋度)。這些定義都是不依賴于坐標的,也就是說,旋度是幾何量。
不知道這是不是你要問的。
更具體一點:
設(shè)
w
是
與
F
對偶的一次形式場,用
\int_C
記在封閉路徑
C
上的線積分,\int_S
是在曲面
S
上的面積分。ds
是
C
上的線元,dS
是
S
上的面元。i
:
C
->
E^3
是包含映射,
i^*是回拉。T
是
C
上的單位切向量,n
是
S
上的單位外法向量。
那么左邊
\int_C
=
\int_C
<
F,
T*ds>
=
\int_C
ds
=
\int_C
w(T)
ds
注意到
(i^*)(w)(T)
=
w(T)
=
w(T)*ds(T)
所以
(i^*)(w)
=
w(T)ds
這個式子說,w
在
C
上的限制,等于w(T)ds
所以上面的積分
\int_C
w(T)
ds
=
\int_C
(i^*)(w)
(由
Stokes
公式)
=
\int_S
dw
記
curlF
是
F
的旋度,則
=
(*dw)(n)
對任意S上一點的單位正交切向量X,
Y,
dS(X,Y)=1
所以
dS
(
X,Y)
=
=
(*dw)(n)
=
dw(X,
Y)
所以
dS
=
dw
所以上面的積分等于右邊。
請問大家關(guān)于高數(shù)中斯托克斯公式的理解,我有一個疑問
還是那句話,你要學(xué)會嚴謹?shù)財⑹鰡栴},只有把問題講清楚了才能解決。
當(dāng)然我大致能估計出你想問什么,Stokes公式中曲面的選取確實是任意的,三樓的講法大體上是對的。我可以稍微補充幾點。
1.
曲面的側(cè)確實很重要,曲面積分本身需要建立在定向曲面上,而曲面的側(cè)也決定了曲線積分的方向。
2.
兩片公用邊界的曲面S1和S2確實可以認為構(gòu)成封閉曲面(此時應(yīng)該理解成S1和反向的S2構(gòu)成封閉曲面),不過這個曲面及其內(nèi)部區(qū)域的結(jié)構(gòu)可能會非常復(fù)雜,即使那S1和S2本身的光滑性都很好。
如果需要使用對區(qū)域要求比較高的Gauss公式,那么很多時候有必要借助第三片曲面S3,使得S3和S1僅在邊界相交,S3和S2也僅在邊界相交,這樣就可以使用較強要求的Gauss公式來證明了。被積函數(shù)確實是0,你自己驗證,不要偷懶。
不過話說回來,即便是引入S3來解決區(qū)域結(jié)構(gòu)的問題,其嚴謹性仍然是比較大的問題,因為這個看似顯然的幾何事實實際上很難證明(可以參考Jordan曲線定理的證明難度),所以我認為Gauss公式用在這里可以幫助理解,但最好不要用來作為推理依據(jù),推理還是直接用Stokes公式比較好。
3.
根據(jù)曲面積分的物理意義也可以理解為什么積分值曲面的選取方式無關(guān)。
第二類曲面積分本身于來源不可壓縮流體在單位時間內(nèi)通過某定向曲面的流量,從這個物理意義上看流量確實是由曲面的邊界(即一條簡單閉曲線)決定的,當(dāng)然物理意義也只能用來幫助理解,不要作為推理依據(jù)。
高數(shù)題,用斯托克斯公式計算曲線積分
按照原題是∮ydx+zdy+xdz來做:
把斯托克斯公式中的各個對象對號入座:其中
①P=y,Q=z,R=x,
②積分曲面∑就取X+y+z=0與X2+y2+z2=a2的交線所圍的平面,
③注意Q對z的偏導(dǎo)數(shù)=1,R對x的偏導(dǎo)數(shù)=1,P對y的偏導(dǎo)數(shù)=1,其他3個偏導(dǎo)數(shù)都=0
則套用斯托克斯公式得到原曲線積分∮ydx+zdy+xdz=∫∫【∑上】dydz+dzdx+dxdy
把上式右邊對坐標的曲面積分化成對面積的曲面積分=∫∫【∑上】(cosα+cosβ+cosγ)dS
其中cosα,cosβ,cosγ就是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦,cosα=cosβ=cosγ=1/√3
于是∫∫【∑上】(cosα+cosβ+cosγ)dS=√3∫∫【∑上】dS=√3*(∑的面積)
∑的面積=∏a2,故√3*∏a2為所求原曲線積分的值。
斯托克斯公式轉(zhuǎn)化
斯托克斯公式就是將曲面 的曲面積分與沿曲面 的邊界閉曲線 的曲線積分聯(lián)系起來,而高斯公式給出了空間閉區(qū)域的三重積分與其邊界閉曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.
化成了三重積分就可以用投影法解決呀.
夾角的+—是的法向量與坐標軸為銳角取+,否則取-,
區(qū)域封閉不封閉,是給的已知條件.
對于封閉的區(qū)域也可以用第二解法利用曲線與曲面積分的聯(lián)系計算來做,不過用第二種方法來做一定要把題目中的每一個面都考慮.
建議看看同濟大學(xué)版的《高等數(shù)學(xué)》,
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