怎么證明一個(gè)矩陣可以對(duì)角化 矩陣可對(duì)角化的幾種證明方法

如何證明矩陣可對(duì)角化？【請(qǐng)問】怎樣判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化？矩陣可對(duì)角化的幾種證明方法，線性代數(shù)題。怎么證明實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化？如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化？

本文導(dǎo)航

• 如何證明矩陣可對(duì)角化
• 如何判斷矩陣不能和對(duì)角矩陣相似
• 矩陣可對(duì)角化的幾種證明方法
• 線性代數(shù)題。怎么證明實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化？
• 如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化？

如何證明矩陣可對(duì)角化

考慮基本的n階循環(huán)矩陣

J=

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

任何n階循環(huán)矩陣A都是J的多項(xiàng)式，所以只需要找一個(gè)P把J對(duì)角化就行了

J是酉陣，當(dāng)然可對(duì)角化

如何判斷矩陣不能和對(duì)角矩陣相似

n級(jí)矩陣A可對(duì)角化＜=＞A的屬于不同特征值的特征子空間維數(shù)之和為n。

實(shí)際判斷方法：

1、先求特征值，如果沒有相重的特征值，一定可對(duì)角化；

2、如果有相重的特征值λk，其重?cái)?shù)為k，那么你通過解方程（λkE-A）X=0得到的基礎(chǔ)解系中的解向量若也為k個(gè)，則A可對(duì)角化，若小于k，則A不可對(duì)角化。

此外，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化。

擴(kuò)展資料：

若n階矩陣A有n個(gè)不同的特征值，則A必能相似于對(duì)角矩陣。

說明：當(dāng)A的特征方程有重根時(shí)，就不一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而未必能對(duì)角化。

設(shè)M為元素取自交換體K中的n階方陣，將M對(duì)角化，就是確定一個(gè)對(duì)角矩陣D及一個(gè)可逆方陣P，使M=PDP-1。設(shè)f為典范對(duì)應(yīng)于M的Kn的自同態(tài)，將M對(duì)角化，就是確定Kn的一個(gè)基，使在該基中對(duì)應(yīng)f的矩陣。

參考資料來源：百度百科——對(duì)角化

矩陣可對(duì)角化的幾種證明方法

線性代數(shù)題。怎么證明實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化？

不用厄米特矩陣。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。

設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，那么可以找到n階正交矩陣T，使得（T的逆陣）AT為對(duì)角矩陣。

證明：當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立。現(xiàn)在證明若對(duì)n-1階實(shí)對(duì)稱矩陣成立，則 對(duì)n階實(shí)對(duì)稱矩陣也成立。設(shè)シ是A的一個(gè)特征值（n階矩陣一定有n個(gè)特征值（計(jì)數(shù)重復(fù)的）），設(shè)α是A 的一個(gè)特征向量（α是列向量）。（（α的轉(zhuǎn)置）*A）的轉(zhuǎn)置=Aα=シα。因?yàn)樘卣飨蛄康姆橇惚稊?shù)仍然是特征向量，所以只要把α的每一個(gè)元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉(zhuǎn)置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉(zhuǎn)置）*α=1）。顯然所有的單位向量有無數(shù)個(gè)，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內(nèi)積為0且他們兩兩內(nèi)積等于0，因?yàn)檎痪仃嚨某湟獥l件是列（行）向量?jī)蓛烧磺叶际菃挝幌蛄?，又因?yàn)閷?duì)方陣而言若AB=E則BA=E，故可以 以α為第一列人工寫出一個(gè)正交矩陣Q，（所謂正交矩陣就是（Q的轉(zhuǎn)置）*Q=Q*(Q的轉(zhuǎn)置)=E）。由（（α的轉(zhuǎn)置）*A）的轉(zhuǎn)置=Aα=シα 得（Q的轉(zhuǎn)置）A的第一行是（シα）的轉(zhuǎn)置，于是 （Q的轉(zhuǎn)置）AQ的第1行第1列處是シ（α的轉(zhuǎn)置）α= シ，還可以推出（Q的轉(zhuǎn)置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于這是為啥實(shí)在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設(shè)t是Q的元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..時(shí)若每一項(xiàng)的角標(biāo)都不完全一樣，那么這些加起來就是0）。因?yàn)镼是正交矩陣，（（Q的逆陣）AQ）的轉(zhuǎn)置=（Q的轉(zhuǎn)置）（A的轉(zhuǎn)置）（Q的逆陣的轉(zhuǎn)置）=（Q的逆陣）AQ，所以（Q的逆陣）AQ也是對(duì)稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個(gè)對(duì)稱矩陣，所以最后可以反復(fù)進(jìn)行這個(gè)過程整成對(duì)角矩陣。證畢

然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對(duì)方陣而言可逆等價(jià)于滿秩，乘以一個(gè)方陣滿秩方陣以后秩不變，這就證明了你的實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化

如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化？

A和B相似的充分必要條件是A和B有相同的特征值λ1……λn ，而且對(duì)于每一個(gè)特征值λi對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征矩陣A-λE和B-λE的秩相同。