矩陣特征值之和是什么意思 主對角線上的元素全為0的矩陣

矩陣中 為什么矩陣的跡就是特征值的和 為什么等于第二項(xiàng)系數(shù)？要具體證明？矩陣中為什么矩陣的跡就是特征值的和為？"特征值的和等于矩陣主對角線上元素之和"怎么證明？為什么特征值之和會(huì)等于矩陣的跡？

本文導(dǎo)航

• 怎么判斷矩陣有多少個(gè)特征值
• 矩陣的秩與特征向量的關(guān)系
• 主對角線上的元素全為0的矩陣
• 為什么矩陣特征值可以為零

怎么判斷矩陣有多少個(gè)特征值

矩陣跡的定義是主對角線是元素的和，線性代數(shù)中有定理：相似矩陣跡相等。

而矩陣相似于它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型之后，跡就成為特征值的和，

而從維達(dá)定理，一個(gè)方程根的和就是它的第二項(xiàng)系數(shù)的反號(hào)。﹙的反號(hào) 你打漏！﹚

用于特征多項(xiàng)式，就是你需要的結(jié)果。

矩陣的秩與特征向量的關(guān)系

因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式f(λ)=λ^n+c1λ^(n-1)+λ^(n-2)+...+cn

是由行列式|λE-A|確定的

根據(jù)韋達(dá)定理，特征值的和=-c1

而在行列式|λE-A|中，只有

(λ-a11)(λ-a22)(λ-a33)...(λ-ann)

這項(xiàng)含有λ^(n-1)，而且這項(xiàng)就是：

-(a11+a22+a33+...+ann)λ^(n-1)

所以特征值的和=a11+a22+a33+...+ann

主對角線上的元素全為0的矩陣

寫出行列式|λE-A|

根據(jù)定義,行列式是不同行不同列的項(xiàng)的乘積之和，

要得到λ^(n-1)只能取對角線上元素的乘積，

（λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)，

所以特征多項(xiàng)式的n-1次項(xiàng)系數(shù)是-(a11+a22+...+ann)，

而特征多項(xiàng)式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn),n-1次項(xiàng)系數(shù)是-(λ1+λ2+...+λn)，

所以a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn。

擴(kuò)展資料：

廣義特征值

如將特征值的取值擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域，則一個(gè)廣義特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B為矩陣。其廣義特征值（第二種意義）λ 可以通過求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）構(gòu)成形如A-λB的矩陣的集合。其中特征值中存在的復(fù)數(shù)項(xiàng)，稱為一個(gè)“叢(pencil)”。

若B可逆，則原關(guān)系式可以寫作;;，也即標(biāo)準(zhǔn)的特征值問題。當(dāng)B為非可逆矩陣（無法進(jìn)行逆變換）時(shí)，廣義特征值問題應(yīng)該以其原始表述來求解。

如果A和B是實(shí)對稱矩陣，則特征值為實(shí)數(shù)。這在上面的第二種等價(jià)關(guān)系式表述中并不明顯，因?yàn)?a target="_blank" title="點(diǎn)擊查看大圖">;A矩陣未必是對稱的。

參考資料：

特征值_百度百科

為什么矩陣特征值可以為零

原因如下：

簡而言之，因?yàn)橄嗨凭仃嚨膶蔷€元素的和相等，以特征值為對角線元素的矩陣與原矩陣相似，所以矩陣特征值的和等于矩陣的跡 。

簡介：

在線性代數(shù)中，一個(gè)n×n矩陣A的主對角線（從左上方至右下方的對角線）上各個(gè)元素的總和被稱為矩陣A的跡（或跡數(shù)），一般記作tr(A)。

將一個(gè)矩陣分解為比較簡單或者性質(zhì)比較熟悉的矩陣之組合，方便討論和計(jì)算。由于矩陣的特征值和特征向量在化矩陣為對角形的問題中占有特殊位置， 因此矩陣的特征值分解。盡管矩陣的特征值具有非常好的性質(zhì)，但是并不是總能正確地表示矩陣的“大小”。