高數(shù)零點(diǎn)定理是什么 零點(diǎn)存在性定理怎么理解

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本文導(dǎo)航

• 零點(diǎn)定理和介值定理怎么區(qū)分
• 唯一零點(diǎn)有什么定理
• 高數(shù)三大定律
• 零點(diǎn)存在性定理怎么理解
• 高等數(shù)學(xué)間斷點(diǎn)圖解
• 零點(diǎn)定理證明題及答案

零點(diǎn)定理和介值定理怎么區(qū)分

定理（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與 f(b)異號(hào)（即f(a)× f(b)<0），那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

唯一零點(diǎn)有什么定理

零點(diǎn)定理”是函數(shù)的一個(gè)定理，還有同名電影。我們還可以利用閉區(qū)間套定理來證明零點(diǎn)定理。

【函數(shù)】

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與 f(b)異號(hào)(即f(a)× f(b)<0)，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。

證明:不妨設(shè)f(a)<0,f(b)>0.令

E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b為E的一個(gè)上界，于是根據(jù)確界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下證f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此時(shí)必有ξ∈(a,b).).事實(shí)上，

(i)若f(ξ)<0,則ξ∈[a,b).由函數(shù)連續(xù)的局部保號(hào)性知

存在δ>0,對(duì)x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

這與supE為E的上界矛盾;

(ii)若f(ξ)>0,則ξ∈(a,b].仍由函數(shù)連續(xù)的局部保號(hào)性知

存在δ>0,對(duì)x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1為E的一個(gè)上界，且x1<ξ,

這又與supE為E的最小上界矛盾。

綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

【電影劇情簡介】

電影基于一個(gè)未設(shè)定時(shí)間線的某個(gè)未知時(shí)空里，闡述了對(duì)于人生意義的追問。男主Qohen Leth，一個(gè)將自己的人生意義限定在一個(gè)"電話"的"瘋子"被曼科公司選中去參與一個(gè)"試圖依靠計(jì)算去證明0=1(100%)的神秘計(jì)劃"，男主在糾結(jié)于那個(gè)代表"1"的神秘電話和代表"0"的現(xiàn)實(shí)工作之間的同時(shí)，還因?yàn)橐粋€(gè)Bainsly的闖入，而接觸到了另一個(gè)虛擬現(xiàn)實(shí)的世界，一切都是"0"的世界，三者開始沖突矛盾，開始懷疑迷失，電影的結(jié)尾男主再一次站在了虛擬的海灘邊，那個(gè)虛擬的"0"似乎已經(jīng)成為了真實(shí)的"1"，什么是真實(shí)，什么是虛無，人生的意義在于何處?我們又會(huì)不會(huì)為了追尋那個(gè)意義而在事實(shí)上浪費(fèi)了自己的整個(gè)人生?又或者，0和1本來就沒有區(qū)別(電影中傳達(dá)的所有試圖證明0=1的努力最后都失敗了)。

高數(shù)三大定律

根據(jù)題目的要證的結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)，

根據(jù)零點(diǎn)定理，連續(xù)函數(shù)g（x）在［0，1-a］有零點(diǎn)ξ，也就是f（ξ+a）＝f（ξ）

零點(diǎn)存在性定理怎么理解

如果函數(shù)y= f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函數(shù)y= f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)= 0的根。

擴(kuò)展資料：

“Darboux函數(shù)”是具有“介值屬性”的實(shí)值函數(shù)f，即滿足介值定理的結(jié)論：對(duì)于f的域中的任何兩個(gè)值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之間有一些c，f（c）= y。介值定理說每個(gè)連續(xù)函數(shù)都是一個(gè)Darboux函數(shù)。但是，并不是每個(gè)Darboux功能都是連續(xù)的；即介值定理的相反是錯(cuò)的。

例如，對(duì)于x> 0和f（0）= 0，取

定義的函數(shù)

在x = 0時(shí)連續(xù)，這個(gè)函數(shù)在x=0處不連續(xù)，但是該函數(shù)具有介值屬性。

歷史上，這個(gè)介值屬性被建議為實(shí)數(shù)函數(shù)連續(xù)性的定義，但這個(gè)定義沒有被采納。

Darboux定理指出，由某些區(qū)間上某些其他函數(shù)的區(qū)分產(chǎn)生的所有函數(shù)都具有介值屬性（盡管它們不需要連續(xù)）。

高等數(shù)學(xué)間斷點(diǎn)圖解

因?yàn)閒(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，且f(1)=2

所以對(duì)于任意的x∈[0,1)

f(x)>f(1)=2

所以在[0,1]上的積分

∫f(x)dx>∫f(1)dt=∫2dt=2 （積分范圍[0,1]）

所以F(1)=∫f(x)dx-2>2-2=0（積分范圍[0,1]）

又F(0)=-1

且F(x)在[0,1]上連續(xù)

所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理F(x)在(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn)。

接下來的步驟是說明F(x)在[0,1]上單調(diào)

單調(diào)函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)

綜合起來就說明

F(x)=0在(0,1)上有且僅有一個(gè)實(shí)根

零點(diǎn)定理證明題及答案

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與

f(b)異號(hào)（即f(a)×

f(b)<0），那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

證明：不妨設(shè)f(a)<0,f(b)>0.令

E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b為E的一個(gè)上界，于是根據(jù)確界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下證f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此時(shí)必有ξ∈(a,b).）.事實(shí)上，

(i)若f(ξ)<0,則ξ∈[a,b).由函數(shù)連續(xù)的局部保號(hào)性知

存在δ>0,對(duì)x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

這與supE為E的上界矛盾；

(ii)若f(ξ)>0,則ξ∈(a,b].仍由函數(shù)連續(xù)的局部保號(hào)性知

存在δ>0,對(duì)x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1為E的一個(gè)上界，且x1<ξ,

這又與supE為E的最小上界矛盾。

綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

我們還可以利用閉區(qū)間套定理來證明零點(diǎn)定理。