級數(shù)1 n 2-n為什么發(fā)散 級數(shù)n的n次方是發(fā)散還是收斂
無窮級數(shù) 1/n 為何是發(fā)散的? 無窮級數(shù)1/(n^2)和(1/n^3)又為何是收斂的?最好用圖像作邏輯判斷?級數(shù)1/n發(fā)散的意義是什么?級數(shù)1/n為什么發(fā)散,當(dāng)n趨于無窮時(shí)不是0么?為什么級數(shù)1/2,n從1到無窮是發(fā)散的?為什么級數(shù)1/n是發(fā)散的而級數(shù)1/n^2是收斂的?
本文導(dǎo)航
無窮級數(shù)基本概念
第一個(gè)級數(shù) 稱為調(diào)和級數(shù) 利用微分中值定理 可以證明1/n>ln(1+1/n) (構(gòu)造y=lnx x在(n,n+1))
級數(shù)1的部分和>ln(n+1)
第二個(gè)級數(shù) 無窮級數(shù)1/(n^2)<級數(shù)1/n(n+1) 后面的級數(shù) 分項(xiàng) 易證收斂
第三個(gè)級數(shù) 級數(shù) (1/n^3)<無窮級數(shù)1/(n^2) 利用正項(xiàng)級數(shù)的比較收斂準(zhǔn)則 易證收斂
勸你看看課本 同濟(jì)大學(xué)出版社的高數(shù)6 比較好 網(wǎng)購的話 很便宜 推薦買了看一下
級數(shù)n的階乘分之一是收斂的嗎
首先對于p-級數(shù)∑1/n^p有很好的性質(zhì):p≤1時(shí)發(fā)散,p>1時(shí)收斂。對于這種形式的級數(shù),其是否收斂完全取決于一般項(xiàng)趨于0的速度,一般項(xiàng)趨于0的速度越快級數(shù)越有可能收斂,例如1/n^2比1/n趨于0的速度快(即n趨于無窮時(shí)1/n^2是比1/n更高階的無窮?。?,因此p=1就是一個(gè)臨界點(diǎn),因?yàn)槿魏伪?大的p都是收斂的,即調(diào)和級數(shù)∑1/n是p-級數(shù)中發(fā)散速度最慢的級數(shù),事實(shí)上你可以自己計(jì)算一下調(diào)和級數(shù)的前幾項(xiàng),它的增長速度是非常慢的,以至于直觀上觀察這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)都想象不出增長如此慢的級數(shù)竟然會是發(fā)散的。另外關(guān)于調(diào)和級數(shù)還可以多說一點(diǎn)就是,它和對數(shù)函數(shù)lnx有著相同的階,即lim(1+1/2+...+1/n-lnn)存在,這個(gè)極限稱為歐拉常數(shù),記作c=lim(1+1/2+...+1/n-lnn),c約等于0.5772,關(guān)于這個(gè)歐拉常數(shù)c是否是無理數(shù),至今無人能給出證明,這是一個(gè)“未解之謎”。
級數(shù)n分之一為什么是發(fā)散
記S[n]=1+1/2+...+1/n。假設(shè)它收斂到S。
可見,S[2n]=S[n]+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>S[n]+1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)
=S[n]+n/(2n)=S[n]+1/2.
兩邊讓n→∞得到S=S+1/2,無解。所以它是發(fā)散的。
無窮級數(shù)從1開始和從0開始
因?yàn)?/2乘以無窮大還是無窮大,所以級數(shù)發(fā)散。任何非零常數(shù)項(xiàng)級數(shù)都是發(fā)散的。
級數(shù)n的n次方是發(fā)散還是收斂
用積分判別法。
收斂級數(shù)(convergent series)是柯西于1821年引進(jìn)的,它是指部分和序列的極限存在的級數(shù)。收斂級數(shù)分條件收斂級數(shù)和絕對收斂級數(shù)兩大類,其性質(zhì)與有限和(有限項(xiàng)相加)相比有本質(zhì)的差別,例如交換律和結(jié)合律對它不一定成立。
收斂級數(shù)的基本性質(zhì)主要有:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后,它的收斂性不變;兩個(gè)收斂級數(shù)逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減之后仍為收斂級數(shù);在級數(shù)前面加上有限項(xiàng),不會改變級數(shù)的收斂性;原級數(shù)收斂,對此級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所得的級數(shù)依然收斂;級數(shù)收斂的必要條件為級數(shù)通項(xiàng)的極限為0。
性質(zhì)
在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng),不會改變級數(shù)的收斂性。
證明:我們只需證明“在級數(shù)的前面部分去掉、加上有限項(xiàng),不會改變級數(shù)的收斂性”,因?yàn)槠渌樾危丛诩墧?shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)的情形)都可以看成在級數(shù)的前面部分先去掉有限項(xiàng),然后再加上有限項(xiàng)的結(jié)果。
掃描二維碼推送至手機(jī)訪問。
版權(quán)聲明:本文由尚恩教育網(wǎng)發(fā)布,如需轉(zhuǎn)載請注明出處。