曲面積分怎么計算 曲面積分求詳細(xì)計算

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本文導(dǎo)航

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• 求閉合曲面積分

曲面積分求詳細(xì)計算

這是第二型曲面積分，曲面的顯示表達(dá)式為z＝－根號(R^2－x^2－y^2)

法向量的第三個分量是－1，記D為x^2+y^2<=R^2，于是

原積分＝二重積分_(D) x^2*y^2*(－根號(R^2－x^2－y^2))*(－1)dxdy

注意上式最后一個－1是因為求的是下側(cè)。

用極坐標(biāo)x＝rcosa，y＝rsina，jacobian行列式為r，

＝積分（從0到R）dr 積分（從0到2pi）r^4*cos^2a*sin^2a*根號(R^2－r^2)rda

關(guān)于a的積分＝積分（從0到2pi）(1－cos4a)/8=pi/4。

關(guān)于r的積分在做變量替換r＝sina，0<=a<=pi/2，

化為積分（從0到pi/2）sin^5a*cos^2ada

=1/3－2/5+1/7＝8/105，最后得

＝2pi/105。

計算曲面積分

曲面積分過于復(fù)雜，不好算。隨手算了，容易出錯。建議看老師講的答案

利用高斯公式計算曲面積分！急！急！急！

分別對x、y、z求偏導(dǎo)數(shù)后轉(zhuǎn)化為一個三重積分后有，3∫∫∫ydxdydz 積分域為實心立方體。 到此可以直接用直角坐標(biāo)積分這個三重積分得出結(jié)果。但是本人這里使用一個對稱技巧。

3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2] dxdydz =3∫∫∫(y-1/2) dxdydz +3∫∫∫（1/2） dxdydz =0 + 3∫∫∫（1/2） dxdydz =（3/2）×1 =3/2（1為這個單位立方體體積。

注意∫∫∫(y-1/2) dxdydz 因為這個立方體關(guān)于平面y-1/2=0對稱，且y-1/2=0為奇次方，所以積分值為0）。

高斯公式介紹：

1、基本概念：

首先，我們來看一下什么是高斯公式。

有一個定理如下：

設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

或

這里Σ是Ω的整個邊界曲面的外側(cè)，cos;α、cos;β、cosγ;是Σ在點(x,y,z)處的法向量的方向余弦。其中的兩個公式均叫做高斯公式。

2. 應(yīng)用：

在計算曲面積分時，可以利用高斯公式把曲面積分化成三重積分。

在應(yīng)用時需要注意定理的適用條件。定理中有三個關(guān)鍵詞：圍成、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、外側(cè)。在使用時，注意以下幾點：

（1）先看看積分域是不是一個閉區(qū)域，如果不是，那么就需要補個面（一般是平面）。

（2）注意閉區(qū)域（無論是否是補面之后形成的）內(nèi)是否在?P/?x、?Q/?y和?R/?z處連續(xù)（即奇點），如果是奇點，還需要用補面來把奇點去掉。

（3）注意題目給定曲面的側(cè)，到底是內(nèi)側(cè)還是外側(cè)。

下圖可以簡明地列出這幾個點：

補面①一般是補平面，補面②一般是球面、橢球面、半球面、半橢球面等。靈活運用就可以了。

求閉合曲面積分

看以下兩點來理解18題的問題。

①，用高斯公式求曲面積分，是用于【封閉曲面】圍成空間區(qū)域的情況下。如果是封閉曲面的外側(cè)，就在三重積分前加+號；如果是封閉曲面的內(nèi)側(cè)，就在三重積分前加-號。

②，對于曲面∑不是封閉曲面的曲面積分，人為地添加適當(dāng)?shù)那妗?，使得∑0與∑共同構(gòu)成封閉曲面，這時就可以考慮用高斯公式了。需要注意兩件事。第一，添加的曲面需要自行給出其側(cè)，原則是要與∑的側(cè)一致地成為封閉曲面的外側(cè)或內(nèi)側(cè)。第二，原積分式=∫∫∑…

=【∫∫∑…+∫∫∑0…】-∫∫∑0…★

上式★中，對【……】，用高斯公式，符號的問題遵①。式★中的∫∫∑0…，用曲面積分的計算公式直接算即可。上述二者算出的值相減即得答案。