極限怎么等價代換 關(guān)于極限等價

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本文導(dǎo)航

• 關(guān)于極限等價
• 極限的等價代換
• 求極限什么時候能等價代換？ 如何快速正確判斷？
• 高數(shù)求極限的等量替換公式
• 函數(shù)極限問題，等價代換的用法
• 求極限的等價代換公式

關(guān)于極限等價

當(dāng)x→0時，常用的等價無窮小有如下：

sinx~x~tanx~(e^x-1)~ln(1+x)

(1-cosx)~(1/2)x^2

[(1+x)^a-1]~ax

(x-sinx)~(1/6)x^3

以上是較為常用的代換。

如何確定是否該使用等價代換：

當(dāng)X->0+或X->0或X->0-時，如果需要代換的部分（用f(x)表示）f(x)→0，那么f(x)就可以進(jìn)行對應(yīng)的代換。

一般來說，只有當(dāng)f(x)作為所求表達(dá)式的一個因子的時候，可以用相應(yīng)代換；那么特殊的情況下，f(x)與所求表達(dá)式是加減關(guān)系時，不一定不能用代換，但是加減關(guān)系用代換的錯誤率極大，一般初學(xué)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)無法準(zhǔn)確把握，建議加減不用代換。

另：代換中更一般的處理：

當(dāng)x→0時，f(x)→0，那么有如下：

sinf(x)~f(x)~tanf(x)~(e^f(x)-1)~ln(1+f(x))

(1-cosf(x))~(1/2)[f(x)]^2

[(1+f(x))^a-1]~af(x)

(f(x)-sinf(x))~(1/6)f(x)^3

具體你的問題：

一般在求解極限時，要每做一步都要看看有沒有極限是常數(shù)的因子；cos(x^2) 就是極限為1的因子，應(yīng)該果斷將其拿到極限號外，將表達(dá)式簡化，再繼續(xù)向下做。

極限的等價代換

等價，即兩者的比極限為1

求極限什么時候能等價代換？ 如何快速正確判斷？

其實(shí)，在國際的微積分理論體系中，沒有把等價無窮小代換作為一種方法；

它僅僅只是我們國內(nèi)教學(xué)中的一種魚目混珠、偷梁換柱、張冠李戴的方法；

它是將麥克勞林級數(shù)、泰勒級數(shù)展開的第一項(xiàng)竊取而來的投機(jī)取巧的方法；

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由于它沒有獨(dú)立的、自洽的、完整的自身的理論體系，僅僅只是竊取而已，

所以，運(yùn)用時等價無窮小代換時，經(jīng)常出錯是在所難免、無可避免的。

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為了防止出錯，我們加進(jìn)了自殘、自虐、自宮的條款：

【在有加減運(yùn)算時，等價無窮小代換不可以使用】。

其實(shí)這句話是矯枉過正，是此地?zé)o銀三百兩的伎倆，是做賊心虛者的不打自招。

麥克勞林級數(shù)、泰勒級數(shù)并無此限制，無論如何加減乘除、如何復(fù)合都可使用。

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所以，只要記?。?/p>

在有加減運(yùn)算時，使用等價無窮小代換要特別謹(jǐn)慎，很容易出錯。

在有加減運(yùn)算時，可能會消除掉本來應(yīng)該殘留下來的高階無窮小。

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雖然自殘條款，武斷地排除了有可能能使用的情況，但是卻避免了過多的差錯。

是寧可不用，也害怕出錯。實(shí)質(zhì)是心虛，是底氣不足。

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在有加減運(yùn)算時，建議樓主用泰勒展開、麥克勞林展開，萬無一失。

而泰勒級數(shù)、麥克勞林級數(shù)，在國內(nèi)的教學(xué)中，是刻意混為一談的。

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高數(shù)求極限的等量替換公式

注意你所謂的“等價變換”是偷換了概念，你的做法不是等價的?。∫?yàn)?，分子部分，如果說只有這三項(xiàng)的任意一項(xiàng)的話，完全沒問題；但這是一個和，就不行了，因?yàn)楹偷牡葍r形式是不知道的（除非你能證明）。事實(shí)上，根據(jù)泰勒展式，把每一項(xiàng)展開前幾項(xiàng)，具體到哪一項(xiàng)，應(yīng)考慮分母是幾次方。

函數(shù)極限問題，等價代換的用法

如下

求極限的等價代換公式

求極限的等價代換公式

當(dāng)x→0時，sinx-x，tanx-x，arcsinx-x，arctanx-x，1-cosx-(1/2)*（x^2）-secx-1，（a^x）-1-x*lna(（a^x-1)/x-lna)、（e^x）-1-x等等。

極限是微積分和數(shù)學(xué)分析的其他分支最基本的概念之一，連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念均由其定義。它可以用來描述一個序列的指標(biāo)愈來愈大時，序列中元素的性質(zhì)變化的趨勢，也可以描述函數(shù)的自變量接近某一個值的時候，相對應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢。

性質(zhì)分析

學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因?yàn)椋鷶?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無限的量，于是精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數(shù)除以0的麻煩，而引入了一個過程任意小量。

除數(shù)不是零，所以有意義，同時，這個過程小量可以取任意小，只要滿足在Δ的區(qū)間內(nèi)，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)——你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧，但是，他的實(shí)用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能。這個概念是成功的。