矩陣特征值代表什么關(guān)系 如何理解矩陣的特征值和特征向量

如何理解矩陣特征值？矩陣和它的行列式，特征向量，特征值之間的關(guān)系是什么？一個(gè)矩陣的特征值和它的奇異值有什么關(guān)系？矩陣的秩與特征值有什么關(guān)系？矩陣的特征值和矩陣對(duì)應(yīng)的行列式是啥關(guān)系，矩陣的秩和特征值有什么關(guān)系？

本文導(dǎo)航

• 如何理解矩陣的特征值和特征向量
• 矩陣的秩與特征值有什么關(guān)系
• 矩陣特征值與矩陣階數(shù)的關(guān)系
• 矩陣的特征向量個(gè)數(shù)與秩的關(guān)系
• 矩陣的秩和特征值個(gè)數(shù)有什么關(guān)系
• 特征矩陣的秩和原矩陣的秩一樣嗎

如何理解矩陣的特征值和特征向量

從線性空間的角度看，在一個(gè)定義了內(nèi)積的線性空間里，對(duì)一個(gè)N階對(duì)稱方陣進(jìn)行特征分解，就是產(chǎn)生了該空間的N個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，然后把矩陣投影到這N個(gè)基上。N個(gè)特征向量就是N個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，而特征值的模則代表矩陣在每個(gè)基上的投影長度。特征值越大，說明矩陣在對(duì)應(yīng)的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。

(1)應(yīng)用到最優(yōu)化中，意思就是對(duì)于R的二次型，自變量在這個(gè)方向上變化的時(shí)候，對(duì)函數(shù)值的影響最大，也就是該方向上的方向?qū)?shù)最大。

(2)應(yīng)用到數(shù)據(jù)挖掘中，意思就是最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量方向上包含最多的信息量，如果某幾個(gè)特征值很小，說明這幾個(gè)方向信息量很小，可以用來降維，也就是刪除小特征值對(duì)應(yīng)方向的數(shù)據(jù)，只保留大特征值方向?qū)?yīng)的數(shù)據(jù)，這樣做以后數(shù)據(jù)量減小，但有用信息量變化不大。

矩陣的秩與特征值有什么關(guān)系

矩陣A是方陣時(shí)，有行列式|A|

令|λI-A|=0

解出特征值λ

再把特征值，分別代入特征方程(λI-A)x=0

解出基礎(chǔ)解系，即可得到特征向量

矩陣特征值與矩陣階數(shù)的關(guān)系

奇異矩陣是線性代數(shù)的概念，

就是對(duì)應(yīng)的行列式等于0的方陣。

那么現(xiàn)在|a|=0，

顯然對(duì)應(yīng)的特征值式子|a-ae|=0

當(dāng)然有特征值a=0

矩陣的特征向量個(gè)數(shù)與秩的關(guān)系

1、方陣A不滿秩等價(jià)于A有零特征值。

2、A的秩不小于A的非零特征值的個(gè)數(shù)。

線性變換秩是多少，就一定找到有多少個(gè)線性無關(guān)的特征向量。因?yàn)橐粋€(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值，所以有多少個(gè)線性無關(guān)的特征向量，就有多少個(gè)特征值（不管特征值是不是一樣）。這里有n個(gè)1，都是一樣的（從特征多項(xiàng)式也知道有n個(gè)重根）。因?yàn)榉峭嘶木€性替換不改變空間的維數(shù)，不改變矩陣的秩。

擴(kuò)展資料：

求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下：

1、第一步：計(jì)算的特征多項(xiàng)式；

2、第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

3、第三步：對(duì)于的每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組：的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是（其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)）。

參考資料來源：百度百科-矩陣的秩

參考資料來源：百度百科-特征值

矩陣的秩和特征值個(gè)數(shù)有什么關(guān)系

矩陣A是方陣時(shí)，有行列式｜A｜，令｜λI－A｜＝0，解出特征值λ。

一個(gè)特征空間就是一個(gè)由所有特征向量組成的空間它們有相同的特征值，包括0向量，但是注意到0向量本身不是特征向量是很重要的。

線性變換的主特征向量是對(duì)應(yīng)于最大特征值的特征向量。特征值的幾何多重性是對(duì)應(yīng)特征空間的維數(shù)。有限維向量空間上的線性變換的譜是它所有特征值的集合。

擴(kuò)展資料：

作為時(shí)間的函數(shù)，如果＝0，它保持不變，如果是正的，它成比例地增加，如果是負(fù)的，它成比例地減少。例如，理想化的兔子總數(shù)在兔子多的地方繁殖得更快，這就滿足了一個(gè)特征值方程。

特征值方程的一個(gè)解是N＝exp（t），也稱為指數(shù)函數(shù)；因此，該函數(shù)是特征值為的微分算子d／dt的特征函數(shù)。如果是負(fù)的，我們稱N的演化為指數(shù)衰減。

特征矩陣的秩和原矩陣的秩一樣嗎

關(guān)系：如果矩陣可以對(duì)角化，那么非0特征值的個(gè)數(shù)就等于矩陣的秩；如果矩陣不可以對(duì)角化，這個(gè)結(jié)論就不一定成立了。

為討論方便，設(shè)A為m階方陣。

證明：設(shè)方陣A的秩為n。

如將特征值的取值擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域，則一個(gè)廣義特征值有如下形式：Aν=λBν。

其中A和B為矩陣。其廣義特征值（第二種意義）λ 可以通過求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）構(gòu)成形如A-λB的矩陣的集合。其中特征值中存在的復(fù)數(shù)項(xiàng)。

若是的屬于的特征向量，則也是對(duì)應(yīng)于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定。反之，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不會(huì)相等，亦即一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值。