為什么實對稱矩陣一定可以對角化 關于矩陣可對角化的幾個條件
為什麼實對稱矩陣一定可以對角化？或者證明一下實對稱矩陣的n個特徵值一定有n個線性無關的特徵向量，實對稱矩陣一定可以主對角化嗎？為什么實對稱矩陣一定能對角化？為什么實對稱矩陣必可對角化？實對稱矩陣是不是一定可以相似對角化，為什么實對稱矩陣一定能對角化？
本文導航
關于矩陣可對角化的幾個條件
對于n階實對稱矩陣Q，設以它的k個線性無關的特征向量為列構成的矩陣為U（U是n行k列）
下證明，如果k<n，總可以找到一個新的特征向量，這樣可以不斷添加直到找到Q的n個線性無關特征向量
將U補全為一個n階正交方陣P=[U V]，則V是n行n-k列，且有U^TV=0和V^TQU=V^T[t1*u1...tk*uk]=0，其中ti是Q的特征向量。
考慮V^TQV，設它的一對特征值和特征向量是t和w，即V^TQVw=tw，則可以證明Vw是Q的一個以t為特征值的特征向量，理由如下：
只需證明兩點：1)Vw與已有特征向量線性無關
2)QVw=tVw
對于1)，U^TVw=0w=0
對于2)，令r=QVw-tVw，由上文有V^Tr=0。而U^Tr=U^TQVw-U^TtVw=0-0=0（上文已證V^TQU=0），所以P^Tr=[U V]^Tr=0。由于P可逆，所以r=0，即QVw=tVw
實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)嗎
可以.
定理: 實對稱矩陣的k重特征值恰有k個線性無關的特征向量
所以實對稱矩陣一定有n個線性無關的特征向量
所以實對稱矩陣可對角化
什么條件下矩陣可對角化
直接證明更強的結論：Hermite矩陣可以酉對角化
如果A是Hermite陣，取A的一個單位特征向量x，張成一個酉陣Q=[x,*]
那么Q^HAQ具有分塊結構
λ 0
0 B
對B用歸納假設就行了
正規(guī)矩陣和可對角化矩陣
這涉及到一系列的定理，不是在這里可以詳細解答的，告訴你這些定理，并注明在同濟《線性代數(shù)》第三版中的位置，你可以詳細閱讀，其它版本的《線性代數(shù)》可以到相應地方去找。
定理1：n階矩陣A能與對角陣相似的充要條件是A有n個線性無關的特征向量。（p146定理4）
定理2：實對稱陣A的特征值都是實數(shù)。（p147定理5）
由這個定理可以知道，實對稱陣一定存在實特征向量。
定理3：實對稱陣的不同特征值對應的特征向量一定是互相正交的。（p147定理6）
注：正交的向量組一定是線性無關的向量組。
定理4：實對稱陣A的r重特征值λ一定有r個線性無關的特征向量。（p148定理7）
由這個定理可以知道，n階實對稱陣一定有n個線性無關的特征向量。
結合定理1與定理4，就可以得到你需要的結論。
怎么判斷是否是實對稱矩陣
若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。
設A是一個n階實對稱矩陣，那么可以找到n階正交矩陣T，使得（T的逆陣）AT為對角矩陣。
證明：當n=1時結論顯然成立。現(xiàn)在證明若對n-1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。設シ是A的一個特征值（n階矩陣一定有n個特征值（計數(shù)重復的）），設α是A 的一個特征向量（α是列向量）。（（α的轉置）*A）的轉置=Aα=シα。因為特征向量的非零倍數(shù)仍然是特征向量，所以只要把α的每一個元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉置）*α=1）。顯然所有的單位向量有無數(shù)個，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內積為0且他們兩兩內積等于0，因為正交矩陣的充要條件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因為對方陣而言若AB=E則BA=E，故可以 以α為第一列人工寫出一個正交矩陣Q，（所謂正交矩陣就是（Q的轉置）*Q=Q*(Q的轉置)=E）。由（（α的轉置）*A）的轉置=Aα=シα 得（Q的轉置）A的第一行是（シα）的轉置，于是 （Q的轉置）AQ的第1行第1列處是シ（α的轉置）α= シ，還可以推出（Q的轉置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于這是為啥實在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設t是T是元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..時若每一項的角標都不完全一樣，那么這些加起來就是0）。因為Q是正交矩陣，（（Q的逆陣）AQ）的轉置=（Q的轉置）（A的轉置）（Q的逆陣的轉置）=（Q的逆陣）AQ，所以（Q的逆陣）AQ也是對稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個對稱矩陣，所以最后可以反復進行這個過程整成對角矩陣。證畢
然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對方陣而言可逆等價于滿秩，乘以一個方陣滿秩方陣以后秩不變，這就證明了你的實對稱矩陣一定可以相似對角化
如何證明矩陣可以對角化
實對稱陣的特征值都是實數(shù)，所以n階陣在實數(shù)域中就有n個特征值，并且實對稱陣的每個特征值的重數(shù)和屬于它的無關的特征向量的個數(shù)是一樣的。
在線性代數(shù)中，對稱矩陣是一個方形矩陣，其轉置矩陣和自身相等。1855年，埃米特證明了別的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質，如稱為埃米特矩陣的特征根性質等。
后來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特征根性質。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關的結論。
矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應用數(shù)學學科中。在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數(shù)值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。
