函數(shù)不連續(xù)怎么求積分 不連續(xù)函數(shù)的定積分

不連續(xù)函數(shù)的定積分，這個不連續(xù)函數(shù)的能不能求定積分？求解，求教：高數(shù)積分問題不連續(xù)函數(shù)一定不可積，當(dāng)定積分函數(shù)在積分區(qū)間不連續(xù)時,怎么求?例：∫（-1到1）1/xdx=？高等數(shù)學(xué)問題。不連續(xù)的函數(shù)，比如有跳躍間斷點(diǎn)，它是否可積？ 如果它可積，那它的變上限積分是否連續(xù)。

本文導(dǎo)航

• 不連續(xù)函數(shù)的定積分
• 這個不連續(xù)函數(shù)的能不能求定積分？求解
• 求教：高數(shù)積分問題不連續(xù)函數(shù)一定不可積
• 當(dāng)定積分函數(shù)在積分區(qū)間不連續(xù)時,怎么求?例：∫（-1到1）1/xdx=?
• 高等數(shù)學(xué)問題。不連續(xù)的函數(shù)，比如有跳躍間斷點(diǎn)，它是否可積？ 如果它可積，那它的變上限積分是否連續(xù)？

不連續(xù)函數(shù)的定積分

恩，我也覺得題目答案錯了。

半圓面積π/2，另一段的積分應(yīng)該是e^x|<1,2>=e^2-e，

我的答案和你一樣。

這個不連續(xù)函數(shù)的能不能求定積分？求解

通常所說的可積的定義是指黎曼可積，即任意區(qū)間分割的積分結(jié)果都要求是有界的并且極限相同。

因此你給的函數(shù)分成左右正負(fù)兩個區(qū)間單獨(dú)積分都不收斂，即定積分不存在。

求教：高數(shù)積分問題不連續(xù)函數(shù)一定不可積

y=積分 sec x dx

=ln|secx+tanx|+C

代入x=2,y=3

C=3-ln|sec2+tan2|

y=ln|secx+tanx|+3-ln|sec2+tan2|

2.

y=積分 cos^2 x sinx dx ,u=cosx, du=-sinxdx

=積分 u^2(-du)

=-u^3/3+C

=-cos^3 x /3 +C

代入x=0,y=-1

-1=-1/3+C

C=-2/3

y=-cos^3 x /3-2/3

當(dāng)定積分函數(shù)在積分區(qū)間不連續(xù)時,怎么求?例：∫（-1到1）1/xdx=?

拆為兩個積分,-1到0一個,另一個是0到1,然后兩個積分均發(fā)散,本題結(jié)果是發(fā)散.

被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)存在趨于無窮的點(diǎn),這種積分稱為瑕積分,屬于廣義積分的一種,不是通常的定積分.

高等數(shù)學(xué)問題。不連續(xù)的函數(shù)，比如有跳躍間斷點(diǎn)，它是否可積？ 如果它可積，那它的變上限積分是否連續(xù)？

有跳躍間斷點(diǎn)的函數(shù)的變上限積分函數(shù)連續(xù)的。變上限積分函數(shù)應(yīng)該出現(xiàn)的是類似于|x|這樣分段的函數(shù)，分段點(diǎn)連續(xù)，但是不可導(dǎo)的情況。

所以如果是有第二類間斷點(diǎn)，如無窮間斷點(diǎn)，震蕩間斷點(diǎn)，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可積。而如果是有限個第一類（無論是跳躍間斷點(diǎn)，還是可去間斷點(diǎn)），都必然是可積的。

函數(shù)可積的充分條件：

1、定理1設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

2、定理2設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。

3、定理3設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)有界,則f(x)在[a,b]上可積。

可積函數(shù)的有界

任何一個可積函數(shù)一定是有界的，但是需要注意的是，有界函數(shù)不一定可積。在其定義域上的每一點(diǎn)都不連續(xù)的函數(shù)。狄利克雷函數(shù)是處處不連續(xù)函數(shù)的一個例子。

若f(x)為一函數(shù)，定義域和值域都是實(shí)數(shù)，若針對每一個x，都存在ε>0 ，使得針對每一個δ>0，都可以找到y(tǒng)，使下式成立，則f(x)為處處不連續(xù)函數(shù)：0< |x?y|<δ 且|f(x)?f(y)|≥ε。