泰勒定理怎么推導(dǎo)的 求泰勒公式推導(dǎo)詳解

泰勒定理怎么推導(dǎo)出來的！不然這么長的公式不會運(yùn)用??？求泰勒公式推導(dǎo)詳解，泰勒公式推導(dǎo)過程。

本文導(dǎo)航

• 泰勒公式結(jié)論
• 求泰勒公式推導(dǎo)詳解
• 泰勒公式推導(dǎo)過程

泰勒公式結(jié)論

1：他是設(shè)多項(xiàng)式p(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3--------+an(x-x0)^n與f（x）接近

這就要求p（x)與f（x）的值與各階導(dǎo)數(shù)在x=x0的值對應(yīng)相等。

那么你把p（x)與f（x）分別對x求導(dǎo)，再令他們當(dāng)x=x0時(shí)，相等即可啊。

譬如2階導(dǎo)數(shù)在x=x0的值相同。那么

p″（x）=2a2+6a3(x-x0)+ ----------- 注意當(dāng)x=x0時(shí)只有第一項(xiàng)不為0即p″（x0）=2a2

令p″（x0）=f″（x0）

則2a2=f″（x0）

推出a2=f″（x0）/2 即確定了多項(xiàng)式p（x)中系數(shù)a2的值

其他的也是內(nèi)推。。。

2：拉格朗日是泰勒公式當(dāng)n=0的特例，這也無需再推啊，你令泰勒公式中的n=0就是拉格朗日了。而且那個(gè)拉格朗日中值定理你也寫錯(cuò)了。

其實(shí)這幾個(gè)中值定理都有一種遞進(jìn)的關(guān)系，其中

拉格朗日中值定理是對洛爾定理的推廣（端點(diǎn)連線由水平推廣成一般情況）

柯西中值定理是對拉格朗日的推廣（也可以看成完全等價(jià)，因?yàn)榭挛髦徊贿^把拉格中的x寫成了參數(shù)式）

泰勒公式也是對拉格朗日的推廣（在導(dǎo)數(shù)階數(shù)上的推廣）

求泰勒公式推導(dǎo)詳解

泰勒公式：將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法。

若函數(shù)f（x）在包含x0的某個(gè)閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間（a,b）上具有（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x，成立下式：

其中，表示f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)f（x）在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余項(xiàng)，是（x-x0）n的高階無窮小。

擴(kuò)展資料：

常用函數(shù)的泰勒公式：

泰勒展開式的應(yīng)用：

1、冪級數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對比較容易。

2、一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。

3、泰勒級數(shù)可以用來近似計(jì)算函數(shù)的值，并估計(jì)誤差。

4、證明不等式。

5、求待定式的極限。

泰勒公式推導(dǎo)過程

若函數(shù)f（x）在包含x0的某個(gè)開區(qū)間（a，b）上具有（n＋1）階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一x∈（a，b），有f（x）＝f（x0）／0?。玣＇（x0）／1?。玣＇＇（x0）／2?。玣（n）＇（x0）／n！＋Rn（x）。

其中，Rn（x）＝f（n＋1）δ（x－x0）＾（n＋1）／（n＋1）！，此處的δ為x0與x之間的某個(gè)值。f（x）稱為n階泰勒公式，其中，P（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x－x0）＋．．．＋f（n）（x0）（x－x0）＾n／n！稱為n次泰勒多項(xiàng)式。

擴(kuò)展資料：

x0由導(dǎo)數(shù)的定義可知，當(dāng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)時(shí)，在點(diǎn)x0的鄰域U（x0） 內(nèi)恒有f（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x-x0）＋o（x－x0） 。因?yàn)閛（x－x0）是一個(gè)無窮小量，故有f（x）≈f（x0）＋f＇（x0）（x-x0） 。

從幾何上看，它是用切線近似代替曲線。然而，這樣的近似是比較粗糙的，而且只在點(diǎn)的附近才有近似意義。為了改善上述不足，使得近似替代更加精密，數(shù)學(xué)家們在柯西中值定理的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了泰勒中值定理（泰勒公式）。