什么是冪級數(shù) 冪級數(shù)的7個重要公式

冪級數(shù)有什么意思？什么是冪級數(shù)？冪級數(shù)的和函數(shù)定義是什么，求出來的結(jié)果代表什么？什么是冪級數(shù)？冪級數(shù)的理論意義和實際意義是什么?。績缂墧?shù)的理論意義和實際意義是什么啊，求高手解答？

本文導(dǎo)航

• 冪級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)圖解
• 冪級數(shù)中什么是收斂
• 冪級數(shù)的7個重要公式
• 常用的幾個冪級數(shù)
• 冪級數(shù)收斂的必要條件和常數(shù)項
• 冪級數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)判斷

冪級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)圖解

冪級數(shù)_詞語解釋

【拼音】：mì jí shù

【解釋】：各項是一變量的連續(xù)整冪方和常數(shù)之積的無窮級數(shù)

【例句】：提出一種連續(xù)系統(tǒng)動柔度的混合展開表達(dá)式，它的前面幾項是模態(tài)展開，其余各項是冪級數(shù)展開。

冪級數(shù)中什么是收斂

解答如下：

冪級數(shù)的7個重要公式

冪級數(shù)的和函數(shù)的定義：對于收斂域上的每一個數(shù)x，函數(shù)項級數(shù)都是一個收斂的常數(shù)項級數(shù)，因而有一確定的和。因此，在收斂域上函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)，稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，記作s（x），通常寫成

或者是：

求出來的結(jié)果代表冪級數(shù)在收斂域上的和。

擴展資料：

冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)：

1、冪級數(shù)

的和函數(shù)s（x）在其收斂域I上連續(xù)。

2、冪級數(shù)

的和函數(shù)s（x）在其收斂域I上可積，并有逐項積分公式

3、冪級數(shù)

的和函數(shù)s（x）在其收斂域內(nèi)可逐項積分任意次。

常用的幾個冪級數(shù)

冪級數(shù)，是數(shù)學(xué)分析當(dāng)中重要概念之一，是指在級數(shù)的每一項均為與級數(shù)項序號n相對應(yīng)的以常數(shù)倍的（x-a）的n次方（n是從0開始計數(shù)的整數(shù)，a為常數(shù)）。冪級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，被作為基礎(chǔ)內(nèi)容應(yīng)用到了實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等眾多領(lǐng)域當(dāng)中。

設(shè)

是定義在某區(qū)間I上的函數(shù)列，則表達(dá)式

(1)

稱為定義在區(qū)間I上函數(shù)項級數(shù)。

如果式（1）上的各項

都是定義在區(qū)間

上的冪函數(shù)，函數(shù)項級數(shù)

(2)

稱作冪級數(shù)，其中

為常數(shù)，

稱為冪級數(shù)的系數(shù)。

擴展資料：

冪函數(shù)的性質(zhì)：

一、當(dāng)α為整數(shù)時，α的正負(fù)性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：

1、當(dāng)α為正奇數(shù)時，圖像在定義域為R內(nèi)單調(diào)遞增。

2、當(dāng)α為正偶數(shù)時，圖像在定義域為第二象限內(nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增。

3、當(dāng)α為負(fù)奇數(shù)時，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減（但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減）。

4、當(dāng)α為負(fù)偶數(shù)時，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。

二、當(dāng)α為分?jǐn)?shù)時，α的正負(fù)性和分母的奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：

1、當(dāng)α>0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增。

2、當(dāng)α>0，分母為奇數(shù)時，若分子為偶數(shù)，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，在第二象限單調(diào)遞減；若分子為奇數(shù)，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞增。

3、當(dāng)α<0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。

4、當(dāng)α<0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減（但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減）。

三、當(dāng)α>1時，冪函數(shù)圖形下凹（豎拋）；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)圖形上凸（橫拋）。

參考資料來源：百度百科-冪級數(shù)

冪級數(shù)收斂的必要條件和常數(shù)項

冪級數(shù)的有關(guān)概念

定義6 具有下列形式的函數(shù)項級數(shù) （1）稱為冪級數(shù).冪級數(shù)

特別地,在中令即上述形式化為 （2）稱為 的冪級數(shù).取為常數(shù)項級數(shù),如收斂,其和為 取為常數(shù)項級數(shù),如收斂,其和為 取為和函數(shù)項級數(shù),總收斂,其和為 對冪級數(shù)主要討論兩個問題：（1）冪級數(shù)的收斂域 （2）將函數(shù)表示成冪級數(shù).冪級數(shù)的收斂域具有特別的結(jié)構(gòu) 定理1：（i）如 在 收斂,則對于滿足 的一切 ,都絕對收斂； （ii）如 在 發(fā)散,則對于滿足 的一切 ,發(fā)散.證：（1）∵ 收斂 ∴ （收斂數(shù)列必有界） 而 為幾何級數(shù),當(dāng) 即收 ∴ 收 ∴ 原級數(shù)絕對收斂 （2）反證：如存在一點 使 收 則由（1） 收,矛盾.由證明可知冪級數(shù)的收斂域為數(shù)軸上的對稱區(qū)間,因此存在非負(fù)數(shù)R,使 收斂； 發(fā)散,稱R為收斂半徑,（-R,R）為收斂區(qū)間.

冪級數(shù)的性質(zhì)

定理 求冪級數(shù)的和函數(shù)：利用逐項求導(dǎo),逐次積分及四則運算等于將其化為可求和的形式

冪級數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)判斷

冪級數(shù)的有關(guān)概念

定義6

具有下列形式的函數(shù)項級數(shù)

（1）稱為冪級數(shù)。

冪級數(shù)

特別地，在中令即上述形式化為

（2）稱為

的冪級數(shù)。

取為常數(shù)項級數(shù)，如收斂，其和為

取為常數(shù)項級數(shù)，如收斂，其和為

取為和函數(shù)項級數(shù)，總收斂，其和為

對冪級數(shù)主要討論兩個問題：

（1）冪級數(shù)的收斂域

（2）將函數(shù)表示成冪級數(shù)。

冪級數(shù)的收斂域具有特別的結(jié)構(gòu)

定理1：（i）如

在

收斂，則對于滿足

的一切

，

都絕對收斂；

（ii）如

在

發(fā)散，則對于滿足

的一切

，

發(fā)散。

證：（1）∵

收斂

∴

（收斂數(shù)列必有界）

而

為幾何級數(shù)，當(dāng)

即收

∴

收

∴

原級數(shù)絕對收斂

（2）反證：如存在一點

使

收

則由（1）

收，矛盾。

由證明可知冪級數(shù)的收斂域為數(shù)軸上的對稱區(qū)間，因此存在非負(fù)數(shù)R，使

收斂；

發(fā)散，稱R為收斂半徑，（-R，R）為收斂區(qū)間。

冪級數(shù)的性質(zhì)

定理

求冪級數(shù)的和函數(shù)：利用逐項求導(dǎo)，逐次積分及四則運算等于將其化為可求和的形式