能對角化矩陣都有哪些 如何證明矩陣的可對角化

線性代數(shù)什么樣的矩陣可對角化，必須滿足什么條件？如何實現(xiàn)矩陣的對角化？謝謝了？線代 哪個矩陣可對角化 求過程，矩陣對角化的方法都有哪些，怎么判斷一個矩陣能否對角化？什么樣的矩陣可對角化？可對角化的矩陣通常都有哪些。

本文導(dǎo)航

• 如何判斷一個矩陣是否可對角化
• 哪些矩陣可以對角化
• 啥樣的矩陣不能對角化
• 如何證明矩陣的可對角化
• 是否所有矩陣都可對角化
• 怎么判斷矩陣是否可對角化

如何判斷一個矩陣是否可對角化

對于n階矩陣A，其可對角化的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量，具體點說，就是A要有n個互異特征值，或者有n-m個互異特征值和m重特征值且這m個特征值有m個特征向量。

另一種判別方法：實對稱矩陣必可對角化。

哪些矩陣可以對角化

第1個矩陣不可以對角化，第2個可以：

啥樣的矩陣不能對角化

1，求出一個矩陣的全部互異的特征值a1,a2……

2，對每個特征值，求特征矩陣a1I-A的秩，判斷每個特征值的幾何重數(shù)q=n-r(a1I-A),是否等于它的代數(shù)重數(shù)p，只要有一個不相等，A就不可 以相似對角化，否則， 就可以相似對角化

3，當(dāng)可以相似對角化時，對每個特征值，求方程組，（aiI-A）X=0的一個基礎(chǔ)解系

4，令P=這些基礎(chǔ)解系，則P-1AP=diag(a1,a2,a3……)，其中有qi個特征值

擴展資料：

判斷方陣是否可相似對角化的條件：　　

(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關(guān)的特征向量;　　

(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特征值滿足n-r（λE-A）=k　　

(3)充分條件：如果An的n個特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對角化;　　

(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那么An一定可以相似對角化?！　?/p>

【注】分析方陣是否可以相似對角化，關(guān)鍵是看線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)，而求特征向量之前，必須先求出特征值。

掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)　　

(1)不同特征值的特征向量一定正交　　

(2)k重特征值一定滿足滿足n-r（λE-A）=k　　

【注】由性質(zhì)(2)可知，實對稱矩陣一定可以相似對角化;且有(1)可知，實對稱矩陣一定可以正交相似對角化?！?/p>

會求把對稱矩陣正交相似化的正交矩陣　　

【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對同一個特征值求出的基礎(chǔ)解系進行正交化，不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交(當(dāng)然除非你計算出錯了會發(fā)現(xiàn)不正交)?！?/p>

3、實對稱矩陣的特殊考點：　　

實對稱矩陣一定可以相似對角化，利用這個性質(zhì)可以得到很多結(jié)論，比如：　　

(1)實對稱矩陣的秩等于非零特征值的個數(shù)　　

這個結(jié)論只對實對稱矩陣成立，不要錯誤地使用。　　

(2)兩個實對稱矩陣，如果特征值相同，一定相似，同樣地，對于一般矩陣，這個結(jié)論也是不成立的。

實對稱矩陣在二次型中的應(yīng)用　　

使用正交變換把二次型化為標(biāo)準型使用的方法本質(zhì)上就是實對稱矩陣的正交相似對角化。

如何證明矩陣的可對角化

1、判斷方陣是否可相似對角化的條件：

(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關(guān)的特征向量;

(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特征值滿足n-r(λE-A)=k

(3)充分條件：如果An的n個特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對角化;

(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那么An一定可以相似對角化。

n階單位矩陣的所有特征值都是1，但是它仍然有n個線性無關(guān)的特征向量，因此單位矩陣可以對角化。

擴展資料

相關(guān)推論

1、若

有n個不同的特征值，則A可對角化。因為復(fù)數(shù)域上的n次多項式恰有n個根，所以我們還有下面的推論。

2、如果A的特征多項式在復(fù)數(shù)域上的根互不相等，那么A作為復(fù)數(shù)域上的矩陣一定可以對角化。

3、如果

是

的所有互不相同的特征值，各特征子空間

的基排列如下：

那么上述特征向量組線性無關(guān)，從而特征子空間的和是直和。

參考資料來源：百度百科-對角化

是否所有矩陣都可對角化

定理1 階矩陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量。若 階矩陣定理2 矩陣 的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。

推論1 若 階矩陣有個互不相同的特征值，則可對角化

定理5 階矩陣可對角化的充分必要條件是：的每個特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的最大個數(shù)等于該特征值的重數(shù)(即的每個特征值對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于該特征值的重數(shù),也即的每個特征子空間的維數(shù)等于該特征值的重數(shù)）。

o(∩_∩)o

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怎么判斷矩陣是否可對角化

1.所有特征根都不相等，那么不用說，絕對可以對角化

2.有等根，只需要等根（也就是重特征值）對應(yīng)的那幾個特征向量是線性無關(guān)的，那么也可以對角化，如果不是，那么就不能了。