怎么證明f x有界 如何判斷函數(shù)是否有界？

f(x)在x→無窮大時(shí)極限為A，f(x)在R上連續(xù),求證f(x)有界，周期函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)是連續(xù)的，則f(x)在(-∞,+∞)有界。這句話對(duì)嗎？如何證明呢？證明函數(shù)f（x）在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界？？，如何判斷函數(shù)是否有界？怎樣證明若f(x)有界則既有上界又有下界？證明下函數(shù)是有界函數(shù) f(x)=x2/1+x2。

本文導(dǎo)航

• f(x)在x→無窮大時(shí)極限為A，f(x)在R上連續(xù),求證f(x)有界
• fx在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)可以說明連續(xù)嗎
• 證明函數(shù)f（x）在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界？？？
• 如何判斷函數(shù)是否有界？
• 怎樣證明若f(x)有界則既有上界又有下界
• 證明下函數(shù)是有界函數(shù) f(x)=x2/1+x2

f(x)在x→無窮大時(shí)極限為A，f(x)在R上連續(xù),求證f(x)有界

對(duì)于ε＝1，由lim(x→∞)f(x)＝A，存在正數(shù)X，當(dāng)|x|＞X時(shí)，|f(x)－A|＜1，所以|f(x)|＜1＋|A|.

f(x)在[-X,X]上連續(xù)，從而有界，所以存在正數(shù)M1，使得|f(x)|≤M1對(duì)任意的x∈[-X,X]恒成立.

取M＝max｛1＋|A|，M1｝，則|f(x)|＜M在R上恒成立，所以f(x)有界

fx在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)可以說明連續(xù)嗎

設(shè)其存在周斯T，有f(x+T)=f(X)，則函數(shù)在【0，T】上存在，在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)存在M=max(abs(f(x)),x=[0,T]),即函數(shù)有界。 得證

證明函數(shù)f（x）在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界？？？

必要性：

已知f(x)在X上有界，則存在M>0，使得任意x∈X，有|f(x)|<M

因此-M<f(x)<M，則f(x)既有上界又有下界。

充分性：

已知f(x)在X上既有上界又有下界，則存在a,b，且b>a，使得f(x)<b，且f(x)>a

（1）若|b|>|a|，則b>0，且-b<a成立，

因此-b<a<f(x)<b，得|f(x)|<b，因此f(x)有界。

（2）若|a|>|b|，則a<0，因此-a>0，得-a>b，

因此a<f(x)<b<-a，得|f(x)|<-a，得f(x)有界。

如何判斷函數(shù)是否有界？

對(duì)，若函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，則f在上有界，判斷函數(shù)是否有界有三種方法：

1、理論法：若f(x)在定義域[a,b]上連續(xù)，或者放寬到常義可積（有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)），則f(x)在[a,b]上必然有界。

2、計(jì)算法：切分(a,b)內(nèi)連續(xù)，limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b?f(x)存在limx→b?f(x)存在;則f(x)在定義域[a,b]內(nèi)有界。

3、運(yùn)算規(guī)則判定：在邊界極限不存在時(shí)，有界函數(shù);±±;有界函數(shù) = 有界函數(shù) （有限個(gè)，基本不會(huì)有無窮個(gè)，無窮是個(gè)難分高低的狀態(tài)）有界 x 有界 = 有界。

4、函數(shù)極限判斷：因?yàn)楹瘮?shù)在開區(qū)間上連續(xù)，所以在開區(qū)間內(nèi)部的任一閉區(qū)間上函數(shù)都有界。能不能再擴(kuò)大到整個(gè)開區(qū)間上也有界，關(guān)鍵是看函數(shù)在右端點(diǎn)處的左極限和左端點(diǎn)處的右極限。

二元連續(xù)函數(shù)的有界性定理：

若二元函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則函數(shù)在上有界，即存在正數(shù)M，對(duì)于任意，有。

假設(shè)二元連續(xù)函數(shù)在有界區(qū)域D上是無界的。設(shè)D的直徑為，選取D的一條直徑，以該直徑為邊長(zhǎng)，作一個(gè)正方形，使得D完全包含在該正方形中，然后分別連接該正方形兩組對(duì)邊的中點(diǎn)，則這兩條連線會(huì)將該正方形四等分，而有界閉域D會(huì)被分為有限個(gè)小區(qū)域。

由于在有界閉域D上無界，則至少存在某個(gè)小閉域，使在該小閉域上是無界的，記該小閉域?yàn)?，直徑為，則，且;。

參考資料：百度百科—有界性定理

怎樣證明若f(x)有界則既有上界又有下界

證明：若函數(shù)f（x）在區(qū)間上有界,則存在M>0,使得∣f(x)∣≤M,

即 -M≤f(x)≤M,

即 函數(shù)f（x）在區(qū)間上既有上界又有下界

若函數(shù)f（x）在區(qū)間上既有上界又有下界,則設(shè)下界為a,上界為b,

有 a≤f(x)≤b

令M=max{∣a∣,∣b∣}>0

則有 ∣f(x)∣≤M,即 函數(shù)f（x）在區(qū)間上有界

證明下函數(shù)是有界函數(shù) f(x)=x2/1+x2

f(x)=[1+x2-1]/(1+x2)=1-1/(1+x2)

證明1/(1+x2)有界就行了

顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)x,1/(1+x2)≤1/1=1,所以1是一個(gè)界限,這樣就證明了f(x)有界