函數(shù)連續(xù)性怎么判斷 如何簡(jiǎn)單判斷一個(gè)函數(shù)是否連續(xù)

如何簡(jiǎn)單判斷一個(gè)函數(shù)是否連續(xù)？怎么判斷一個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)？高數(shù)中。連續(xù)性和可導(dǎo)性怎么判斷？如何判斷函數(shù)是否連續(xù)和可導(dǎo)呢？

本文導(dǎo)航

• 如何簡(jiǎn)單判斷一個(gè)函數(shù)是否連續(xù)
• 怎么判斷一個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)
• 高數(shù)中。連續(xù)性和可導(dǎo)性怎么判斷
• 如何判斷函數(shù)是否連續(xù)和可導(dǎo)呢?

如何簡(jiǎn)單判斷一個(gè)函數(shù)是否連續(xù)

根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性定義來(lái)判斷。

函數(shù)連續(xù)性定義：

對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x0，在x0的領(lǐng)域內(nèi)都有l(wèi)imf(x)=f(x0)(x->x0)

即函數(shù)在x0處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值時(shí)，由函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，如果函數(shù)在定義域內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則該函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)。

從圖像上看，函數(shù)連續(xù)，則圖像是一條不斷開(kāi)的曲線。如果從某點(diǎn)處斷開(kāi)，則函數(shù)在該點(diǎn)就不連續(xù)了。

怎么判斷一個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)

初等函數(shù)在其定義域的任意子區(qū)間都連續(xù)。

高數(shù)中。連續(xù)性和可導(dǎo)性怎么判斷

1.函數(shù)的連續(xù)性定義有三個(gè)條件

f(x)在x=x0點(diǎn)有定義；f(x)在x→x0時(shí)極限存在；極限值等于函數(shù)值

此外，還有個(gè)命題

基本初等函數(shù)在其定義域中連續(xù)，初等函數(shù)在其定義區(qū)間中連續(xù)。

因此，判斷函數(shù)的連續(xù)性，一般先觀察函數(shù)是否為初等函數(shù)（由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算以及復(fù)合而成的函數(shù)），如果是，那么在它的定義區(qū)間上的每一點(diǎn)都是連續(xù)的！

如果函數(shù)是個(gè)分段函數(shù)，那么先考慮每個(gè)分段上的連續(xù)性，然后考慮分段點(diǎn)的連續(xù)性，采用的方法依據(jù)定義來(lái)判斷！

2.函數(shù)的可導(dǎo)性主要是考慮極限lim

Δy/Δx=lim

[f(x)-f(x0)]/(x-x0)是否存在的問(wèn)題.

對(duì)于基本初等函數(shù)，它們也都是在它的定義域中可導(dǎo)的。

如果碰到分段函數(shù)，記得分段點(diǎn)的可導(dǎo)性一定要用定義來(lái)判斷！

此外，對(duì)于一元函數(shù)來(lái)講，可導(dǎo)必連續(xù)，反之未必成立！

如何判斷函數(shù)是否連續(xù)和可導(dǎo)呢?

一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)（可導(dǎo)）指的是該函數(shù)在此區(qū)間的任意一點(diǎn)上連續(xù)（可導(dǎo)）。

至于判斷在某一點(diǎn)上函數(shù)是否連續(xù)或可導(dǎo)，即判斷某個(gè)極限是否存在。

判斷函數(shù)f在點(diǎn)x0處是否連續(xù)，即判斷極限lim(x--x0)f(x)是否存在且等于f(x0)。

判斷函數(shù)f在點(diǎn)x0處是否可導(dǎo)，即判斷極限lim(dx--0)(f(x+dx)-f(x))/dx是否存在。

對(duì)于連續(xù)性，在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性。

設(shè)函數(shù);;在點(diǎn);;的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有;;，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn);;處連續(xù)，且稱(chēng);為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn)。

一個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間;;內(nèi)每點(diǎn)連續(xù)，則為在;;連續(xù)，若又在;;點(diǎn)右連續(xù)，;;點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間;;連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱(chēng)為連續(xù)函數(shù)。

顯然，由極限的性質(zhì)可知，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件是它在該點(diǎn)左右都連續(xù)。

擴(kuò)展資料：

如果f是在x0處可導(dǎo)的函數(shù)，則f一定在x0處連續(xù)，特別地，任何可導(dǎo)函數(shù)一定在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。反過(guò)來(lái)并不一定。事實(shí)上，存在一個(gè)在其定義域上處處連續(xù)函數(shù)，但處處不可導(dǎo)。

間斷有以下三種情況：

1.在點(diǎn);;處;;沒(méi)有定義，在;;為發(fā)散狀態(tài)（y=tanx在x=kπ+π/2處無(wú)定義，并且在x=kπ+π/2處發(fā)散到無(wú)窮大）；

2.在;;無(wú)定義，趨近與;;時(shí)連續(xù)波動(dòng)（y=sin(1/x)在x=0處無(wú)定義，并且在0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)無(wú)限振蕩）；

3.雖然;;有定義，且;;存在，但不等于;;（分段函數(shù)在x=0處的左右極限都存在，但不等于f(0)）。

參考資料：百度百科——可導(dǎo)函數(shù)

參考資料：百度百科——連續(xù)函數(shù)