秩怎么描述齊次方程方程解 齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩與解的情況的關(guān)系？

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本文導(dǎo)航

• 齊次線性方程組的解和其秩的關(guān)系
• 線性代數(shù)齊次線性方程組解集的秩問題
• 非齊次線性方程和齊次方程中 解的個(gè)數(shù)、系數(shù)矩陣的秩、未知數(shù)個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？
• 怎么通過秩判斷齊次和非齊次方程組有沒有解
• 齊次方程組有解，它的秩應(yīng)滿足什么條件
• 齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩與解的情況的關(guān)系？

齊次線性方程組的解和其秩的關(guān)系

.齊次線性方程組的系數(shù)矩陣秩r(A)=n，方程組有唯一零解 　　

齊次線性方程組的系數(shù)矩陣秩r(A)<n,方程組有無數(shù)多解 　

n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零

線性代數(shù)齊次線性方程組解集的秩問題

AB=0 時(shí), B的列向量都是 Ax=0 的解

所以 B的列向量組可由 Ax=0 的基礎(chǔ)解系線性表示

所以 r(B) <= r (基礎(chǔ)解系) = n-r(A)

非齊次線性方程和齊次方程中 解的個(gè)數(shù)、系數(shù)矩陣的秩、未知數(shù)個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？

齊次線性方程解的個(gè)數(shù)=n-r(未知數(shù)的個(gè)數(shù)-秩的個(gè)數(shù))

非齊次線性方程解的個(gè)數(shù)=n-r＋1(未知數(shù)的個(gè)數(shù)-其次方程的秩＋1，其中1代表非齊次線性方程的一個(gè)特解，根據(jù)非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)得出。

系數(shù)矩陣常常用來表示一些項(xiàng)目的數(shù)學(xué)關(guān)系，比如通過此類關(guān)系系數(shù)矩陣來證明各項(xiàng)目的正反比關(guān)系。

擴(kuò)展資料：

對增廣矩陣B施行初等行變換化為行階梯形。若R(A)<R(B)，則方程組無解。若R(A)=R(B)，則進(jìn)一步將B化為行最簡形。

非齊次線性方程組的通解=齊次線性方程組的通解+非齊次線性方程組的一個(gè)特解（η=ζ+η*）。

對有解方程組求解，并決定解的結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)問題均得到完滿解決：所給方程組有解，則秩(A）=秩（增廣矩陣）；若秩(A）=秩=r，則r=n時(shí)，有唯一解；r<n時(shí)，有無窮多解；可用消元法求解。

當(dāng)非齊次線性方程組有解時(shí)，解唯一的充要條件是對應(yīng)的齊次線性方程組只有零解；解無窮多的充要條件是對應(yīng)齊次線性方程組有非零解。

但反之當(dāng)非齊次線性方程組的導(dǎo)出組僅有零解和有非零解時(shí)，不一定原方程組有唯一解或無窮解，事實(shí)上，此時(shí)方程組不一定有 ，即不一定有解。

參考資料來源：百度百科——非齊次線性方程組

怎么通過秩判斷齊次和非齊次方程組有沒有解

.齊次線性方程組的系數(shù)矩陣秩r(a)=n，方程組有唯一零解

齊次線性方程組的系數(shù)矩陣秩r(a)<n,方程組有無數(shù)多解

n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零

齊次方程組有解，它的秩應(yīng)滿足什么條件

克拉默法則方程系數(shù)行列式不為零則有喂一解。對于齊次方程，若系數(shù)行列式不為零則只有喂一零解。要有非零解則系數(shù)行列式必為零。根據(jù)矩陣秩的定義和求法則可以推出r<n。

齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩與解的情況的關(guān)系？

若系數(shù)矩陣滿秩，則齊次線性方程組有且僅有零解，若系數(shù)矩陣降秩，則有無窮多解，且基礎(chǔ)解系的向量個(gè)數(shù)等于n-r。

對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為階梯型矩陣后，不全為零的行數(shù)r（即矩陣的秩）小于等于m（矩陣的行數(shù)），若m<n，則一定n>r,則其對應(yīng)的階梯型n-r個(gè)自由變元，這個(gè)n-r個(gè)自由變元可取任意取值，從而原方程組有非零解（無窮多個(gè)解）。

擴(kuò)展資料：

稱為n元齊次線性方程組。設(shè)其系數(shù)矩陣為A，未知項(xiàng)為X，則其矩陣形式為AX=0。若設(shè)其系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換所化到的行階梯形矩陣的非零行行數(shù)為r，則它的方程組的解只有以下兩種類型：

當(dāng)r=n時(shí)，原方程組僅有零解；

當(dāng)r<n時(shí)，有無窮多個(gè)解（從而有非零解）。

對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為階梯型矩陣后，不全為零的行數(shù)r（即矩陣的秩）小于等于m（矩陣的行數(shù)），若m<n，則一定n>r,則其對應(yīng)的階梯型n-r個(gè)自由變元，這個(gè)n-r個(gè)自由變元可取任意取值，從而原方程組有非零解（無窮多個(gè)解）。

參考資料來源：百度百科-齊次線性方程組