偏導(dǎo)連續(xù)為什么可微 高等數(shù)學(xué)常用導(dǎo)數(shù)公式

若偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可微分，為什么？為什么偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一定可微？為什么多元函數(shù)的x,y偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)就可微？偏導(dǎo)連續(xù)與可微的關(guān)系，偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是可微的什么條件？高等數(shù)學(xué):連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)就是可微。

本文導(dǎo)航

• 偏導(dǎo)數(shù)可微性判斷
• 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)為什么不能等于0
• 多元函數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)有必要聯(lián)系嗎
• 偏導(dǎo)連續(xù)但不可微的例子
• 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的充分必要條件是什么
• 高等數(shù)學(xué)常用導(dǎo)數(shù)公式

偏導(dǎo)數(shù)可微性判斷

這個(gè)多元函數(shù)（0,0）點(diǎn)是可微的啊。兩個(gè)偏導(dǎo)都在（0,0）點(diǎn)連續(xù)。明顯可微。從mathematica的圖上看（0,0）點(diǎn)也不是奇點(diǎn)。所以為什么不可微？

連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)為什么不能等于0

就是這么規(guī)定的

多元函數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)有必要聯(lián)系嗎

為什么偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分不必要條件：

1、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微分充分條件，但不是必要條件。

2、比如下面這個(gè)函數(shù)f(x,y)，函數(shù)的表達(dá)式為當(dāng)x,y均為有理數(shù)時(shí)f(x,y)=x^2+y^2；當(dāng)x,y中有一個(gè)變量為無理數(shù)時(shí)f(x,y)=0。

3、考慮這個(gè)函數(shù)在（0,0）處的微分，顯然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a，其中a的表達(dá)式為：當(dāng)⊿x,⊿y都是有理數(shù)時(shí)，a=⊿x^2+⊿y^2；當(dāng)⊿x,⊿y中有一個(gè)無理數(shù)時(shí)a=0。

4、所以a為√⊿x^2+⊿y^2的高階無窮小，這也就說明了函數(shù)f(x,y)在（0,0）是可微的。

5、根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可以證明函數(shù)f在（0,0）處對于x和y的偏導(dǎo)數(shù)都等于0。

6、在除（0,0）以外的所有有理數(shù)組點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都是不存在的，因?yàn)楫?dāng)x,y為有理數(shù)，⊿x以無理數(shù)方向趨于0時(shí)，⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2，所以⊿f/⊿x的極限不存在。

7、所以f在（0,0）的任意一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)導(dǎo)數(shù)不滿足連續(xù)條件，但f可微，所以那只是充分而非必要條件。

8、可微必定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；連續(xù)未必偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在也未必連續(xù)；連續(xù)未必可微，偏導(dǎo)數(shù)存在也未必可微；偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分不必要條件。

偏導(dǎo)連續(xù)但不可微的例子

偏導(dǎo)連續(xù)（連續(xù)可偏導(dǎo)）則一定可微，偏導(dǎo)不連續(xù)不一定不可微，因?yàn)槠珜?dǎo)連續(xù)是可微的充分條件而非必要

1.5偏導(dǎo)連續(xù)可微關(guān)系

偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的充分必要條件是什么

充分不必要條件，即：偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)則函數(shù)可微，函數(shù)可微推不出偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。

1、若二元函數(shù)f在其定義域內(nèi)某點(diǎn)可微，則二元函數(shù)f在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，反過來則不一定成立。

2、若二元函數(shù)函數(shù)f在其定義域內(nèi)的某點(diǎn)可微,則二元函數(shù)f在該點(diǎn)連續(xù)，反過來則不一定成立。

3、二元函數(shù)f在其定義域內(nèi)某點(diǎn)是否連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)是否存在無關(guān)。

4、可微的充要條件：函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在且連續(xù)，則二元函數(shù)f在該點(diǎn)可微。

擴(kuò)展資料：

判斷可導(dǎo)、可微、連續(xù)的注意事項(xiàng)：

1、在一元的情況下，可導(dǎo)=可微->連續(xù)，可導(dǎo)一定連續(xù)，反之不一定。

2、二元就不滿足以上的結(jié)論，在二元的情況下：

（1）偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，函數(shù)可微，函數(shù)連續(xù)。

（2）偏導(dǎo)數(shù)不存在，函數(shù)不可微，函數(shù)不一定連續(xù)。

（3）函數(shù)不可微，偏導(dǎo)數(shù)不一定存在，函數(shù)不一定連續(xù)。

（4）函數(shù)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不一定存在,函數(shù)不一定可微。

（5）函數(shù)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不一定存在,函數(shù)不可微。

高等數(shù)學(xué)常用導(dǎo)數(shù)公式

函數(shù)有連續(xù)的

偏導(dǎo)數(shù)

則必定

可微

，可微卻不一定有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，

例如函數(shù)f(x,y)處處可微，但它的偏導(dǎo)數(shù)卻不是

連續(xù)函數(shù)

。

f(x,y)的表達(dá)式如下：

當(dāng)xy≠0時(shí)，(x^2)*sin(1/x)+(y^2)*sin(1/y)

當(dāng)x≠0，y=0時(shí)，(x^2)*sin(1/x)

當(dāng)x=0，y≠0時(shí)，(y^2)*sin(1/y)

當(dāng)x=y=0時(shí)，0

可以驗(yàn)證，這個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)處可微，但兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)在原點(diǎn)處都不連續(xù)。