二元函數(shù)怎么證明可微 證明二元函數(shù)可微。

怎樣證明一個(gè)二元函數(shù)可微？如何證明二元函數(shù)的可微性？二元函數(shù)可微的條件是什么？如何證明二元函數(shù)的可微性，急求？定義法證明二元函數(shù)Z=xy可微，證明二元函數(shù)可微。

本文導(dǎo)航

• 怎樣證明一個(gè)二元函數(shù)可微
• 如何證明二元函數(shù)的可微性
• 二元函數(shù)可微的條件是什么？
• 如何證明二元函數(shù)的可微性，急求
• 定義法證明二元函數(shù)Z=xy可微？
• 證明二元函數(shù)可微。

怎樣證明一個(gè)二元函數(shù)可微

最自然的方法就是用定義證明，當(dāng)然這種方法最少見

常用的方法是證明偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，推出可微

此外，初等函數(shù)都是可微函數(shù)，不過(guò)一般不會(huì)讓你證明一個(gè)初等函數(shù)可微，太簡(jiǎn)單了。。。。

所以方法2最常用~

如何證明二元函數(shù)的可微性

判定二元函數(shù)的可微性,關(guān)鍵要理解二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、方向?qū)?shù)存在、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)這四個(gè)概念與可微之間的關(guān)系。本文著重分析這四種關(guān)系,給出判定二元函數(shù)在某點(diǎn)可微的方法。關(guān)鍵詞: 二元函數(shù) 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù) 可微 方向?qū)?shù)對(duì)于一元函數(shù),可微性比較容易判定。因?yàn)橐辉瘮?shù)在某個(gè)點(diǎn)連續(xù)、可導(dǎo)、可微這三個(gè)概念的關(guān)系是很清楚的,可簡(jiǎn)單地表示為:可微?圳可導(dǎo)?圯連續(xù)。

首先,對(duì)于以一元函數(shù),比較簡(jiǎn)單,可微一定可導(dǎo),可導(dǎo)一定可微.

對(duì)于多元函數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微,可微一定存在偏導(dǎo).（還有,偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)函數(shù)不一定連續(xù)）

二元函數(shù),可微的充要條件是

z=f(x,y)在（Xo,Yo)處的偏導(dǎo)數(shù)f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且

{Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0)

其中 k=Δx h=Δy ρ=就是動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)的距離,那個(gè)式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2

二元函數(shù)可微的條件是什么？

1、二元函數(shù)可微的必要條件：若函數(shù)在某點(diǎn)可微，則該函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)必存在。

2、二元函數(shù)可微的充分條件：若函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)都存在且均在這點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在這點(diǎn)可微。

3、多元函數(shù)可微的充分必要條件是f(x，y)在點(diǎn)（x0，y0）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在。

4、設(shè)平面點(diǎn)集D包含于R^2，若按照某對(duì)應(yīng)法則f，D中每一點(diǎn)P(x，y)都有唯一的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱f為在D上的二元函數(shù)。

如何證明二元函數(shù)的可微性，急求

解答如下，打字不方便，手寫如下：

定義法證明二元函數(shù)Z=xy可微？

元函數(shù)可微性定義：

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義,對(duì)這個(gè)鄰域中的點(diǎn)P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函數(shù)f在P0點(diǎn)處的增量△z可表示為:

△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是僅與P0有關(guān)的常數(shù),ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是較ρ高階無(wú)窮小量,即當(dāng)ρ趨于零是o(ρ)/ρ趨于零.則稱f在P0點(diǎn)可微.

本題：

△z=（x0+△x）（y0+△y）-x0y0=y0△x+x0△y+△x△y，

作為無(wú)窮小，ρ=√[（△x）2+（△y）2]，與△x，△y等階?！鱴△y比ρ的階高，因此上式可以寫作：

△z=y0△x+x0△y+o(ρ)

=A△x+B△y+o(ρ)

其中A=y0，B=x0，都是常數(shù)。

根據(jù)定義，z=xy在（x0，y0）可微。

證明二元函數(shù)可微。

二元函數(shù)可微的定義是函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。令x=y=0，則全增量Δz=f(Δx,Δy)-f(0,0)，將符號(hào)Δx,Δy換成x,y來(lái)表示，則該題中(x,y)→(0,0)時(shí)函數(shù)f(x,y)的Δz=f(x,y)-f(0,0)=-2x+y+o(ρ)，符合定義的要求，所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微。