格林公式挖洞后怎么辦 高數(shù)格林公式的問題

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本文導(dǎo)航

• 高數(shù)格林公式的問題！
• 高數(shù)格林公式的問題
• 利用格林公式求橢圓面積
• 關(guān)于格林公式經(jīng)過原點(diǎn)的問題
• 求問此類曲線積分如何解決？是否通用挖洞的格林公式？具體如何解？謝謝
• 格林公式挖點(diǎn)順時(shí)針還是逆時(shí)針

高數(shù)格林公式的問題！

（0，0）那個(gè)點(diǎn)叫做“奇點(diǎn)”，是使得分母為零的點(diǎn)

在那點(diǎn)附近，格林公式條件不成立

需要用“挖洞”法，對(duì)那點(diǎn)進(jìn)行特殊討論

一般，是用三角換元

分式上下消去 一極小半徑

就OK了

高數(shù)格林公式的問題

首先，沒見過多元函數(shù)里有“間斷點(diǎn)”的概念（數(shù)學(xué)系的會(huì)有？）

總之，這個(gè)(0,0)是無(wú)定義點(diǎn)，自然也是偏導(dǎo)不連續(xù)點(diǎn)

不滿足格林公式的使用條件，那自然是不能直接使用的

于是，想用就必須補(bǔ)線，也就是“挖洞”

但挖洞要有技巧

注意到這里的洞是由于分母F(x,y)為零的地方產(chǎn)生的

于是補(bǔ)的線要根據(jù)F(x,y)的形式來(lái)補(bǔ)（F是圓,補(bǔ)的就是圓;是橢圓,補(bǔ)的就是橢圓）

這里補(bǔ)的線就是l: F(x,y) = x2+y2 = r2，其中r足夠小

這樣做是因?yàn)榫€積分能夠?qū)⑶€方程代入被積函數(shù)中，這樣就消去了無(wú)定義點(diǎn)

即 ∮(xdy-ydx)/(x2+y2) = ∮(xdy-ydx)/r2 = (1/ r2)∮xdy-ydx 【積分路徑為l】

原積分化為

∮(xdy-ydx)/(x2+y2) 【積分路徑為l】

=∮(xdy-ydx)/(x2+y2) - (1/ r2)∮xdy-ydx 【前者積分路徑為L(zhǎng)+l，后者積分路徑為l】

這樣前者避開了(0,0)點(diǎn)，可使用格林公式了

后者將曲線方程代入被積函數(shù)后消去了無(wú)定義點(diǎn)，再使用格林公式也無(wú)妨了

利用格林公式求橢圓面積

去理解這兩個(gè)公式的應(yīng)用條件吧，需要的是連續(xù)的封閉區(qū)間。補(bǔ)全是因?yàn)椴环忾]，挖奇點(diǎn)是因?yàn)橛虚g斷點(diǎn)不連續(xù)。其實(shí)我想說的是，數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的地方就是曲線和曲面積分，LZ應(yīng)該翻出課本來(lái)從定理開頭開始看起，動(dòng)手做幾個(gè)例題，基本沒什么問題。這個(gè)地方在考研這種考試中，需要你靈活自如進(jìn)行應(yīng)用，如果你最基本的實(shí)質(zhì)都不懂，更別談應(yīng)對(duì)它給你設(shè)置的一些小障礙了。

關(guān)于格林公式經(jīng)過原點(diǎn)的問題

當(dāng)原點(diǎn)在區(qū)域中的時(shí)候，P和Q都不是連續(xù)函數(shù)，更不可導(dǎo)了，所以，破壞了格林公式的條件。選擇適當(dāng)小的r把原點(diǎn)挖掉，可以保證在這個(gè)環(huán)形區(qū)域內(nèi)P和Q都變成可微分函數(shù)，從而滿足了格林公式。事實(shí)上就是把外面大邊界的積分轉(zhuǎn)化到里面小的圓圈上的積分，這樣的好處是里面的圓圈是一個(gè)規(guī)則的圖形，很容易寫出方程，利用第二型曲線積分的標(biāo)準(zhǔn)求法去求解。適當(dāng)小就是保證小圓盤包含著原點(diǎn)而且包含于大區(qū)域。至于為什么中間的環(huán)形區(qū)域積分等于零，是因?yàn)樵谶@里Q對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)等于P對(duì)y 的偏導(dǎo)數(shù)啊，轉(zhuǎn)化到邊界（兩個(gè)，內(nèi)外邊界）上就是兩個(gè)曲線積分相等，這里還要注意積分的方向，邊界的定向等知識(shí)點(diǎn)。

總體說來(lái)，就是題目不能直接用格林公式，但是可以用格林公式先把普通曲線上的積分轉(zhuǎn)化到規(guī)則曲線上的積分，然后根據(jù)第二型曲線積分的標(biāo)準(zhǔn)求法去求，到了規(guī)則曲線這個(gè)時(shí)候，我不用格林公式了，所以，是不是包含原點(diǎn)已經(jīng)對(duì)積分計(jì)算沒有影響了。

求問此類曲線積分如何解決？是否通用挖洞的格林公式？具體如何解？謝謝

注意到x2＋4y2＝4

當(dāng)x和y不同時(shí)為零，I=∫L(-ydx+xdy)/4可以用格林公式。

可是還有(0,0）這個(gè)點(diǎn)。兩次積分還需要用右手定則判別方向。

格林公式挖點(diǎn)順時(shí)針還是逆時(shí)針

你只需注意Green公式的應(yīng)用條件就知道添加曲線的方向了.

Green公式的條件：人站在邊界正向前進(jìn)時(shí),左手邊是積分區(qū)域.

由這個(gè)條件,挖掉的洞的邊界正向必須是：總體來(lái)說是順時(shí)針的,這樣才符合公式條件.

Gauss公式類似：必須是外法向方向采用Gauss公式.

因此挖掉的洞的法方向必須是相對(duì)整個(gè)積分區(qū)域是朝外的,

也就是說,單獨(dú)對(duì)洞的邊界曲面來(lái)說,實(shí)際上是朝內(nèi)的才符合Gauss公式.

補(bǔ)面完全是類似的,補(bǔ)上后的整個(gè)曲面的定向是朝外法向量.