什么是無(wú)零因子環(huán) 怎么證明無(wú)零因子

證明一個(gè)至少有兩個(gè)元素的且沒(méi)有零因子的有限環(huán)，R是一個(gè)除環(huán)，數(shù)學(xué)中的環(huán)是什么意思？不屬于無(wú)零因子環(huán)的是 整數(shù)環(huán)，偶數(shù)環(huán)，高斯整環(huán)，z6，無(wú)零因子環(huán)消去律一定成立嗎？不屬于無(wú)零因子環(huán)的是 A.整數(shù)環(huán) B.偶數(shù)環(huán) C.高斯整環(huán) D.Z6，是無(wú)零因子環(huán)。

本文導(dǎo)航

• 正定矩陣性質(zhì)及證明
• 數(shù)學(xué)中的數(shù)的含義
• 證明整數(shù)環(huán)是主理想環(huán)
• 什么時(shí)候使用消零因子法
• 環(huán)中零元素是零因子么
• 怎么證明無(wú)零因子

正定矩陣性質(zhì)及證明

證：設(shè)V為R中非零元構(gòu)成的集合。由題意知V中至少含有一個(gè)元。對(duì)于任意a，b屬于V，因?yàn)镽中的乘法構(gòu)成半群，所以a*b屬于R。因?yàn)镽是無(wú)零因子環(huán)，a和b都不等于0，所以a*b屬于V，即V對(duì)乘法運(yùn)算滿足封閉性。顯然任何V里的元對(duì)乘法滿足結(jié)合律，所以V對(duì)乘法構(gòu)成半群。又因?yàn)镽是無(wú)零因子環(huán)，乘法滿足消去律，故V中的乘法也滿足消去律。因此，任意一個(gè)滿足消去律的有限半群構(gòu)成一個(gè)群。于是R中所有非零元構(gòu)成群，故R是一個(gè)除環(huán)。

數(shù)學(xué)中的數(shù)的含義

環(huán)的定義

一個(gè)環(huán)是由一個(gè)集合R和兩種二元運(yùn)算 + 和 · 組成，這兩種運(yùn)算可稱為加法和乘法。一個(gè)環(huán)必須遵守以下規(guī)律：

(R, +)形成一個(gè)可交換群，其單位元稱作零元素，記作‘0’。即：

(a + b) = (b + a)

(a + b) + c = a + (b + c)

0 + a = a + 0 = a

?a ?(?a) 滿足 a + ?a = ?a + a = 0

(R, ·)遵守：

1·a = a·1 = a （僅限于含幺環(huán)）

(a·b)·c = a·(b·c)

乘法關(guān)于加法滿足分配律：

a·(b + c) = (a·b) + (a·c)

(a + b)·c = (a·c) + (b·c)

注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可簡(jiǎn)寫(xiě)為 ab。 此外，乘法是比加法優(yōu)先的運(yùn)算，所以 a + bc 其實(shí)是 a + (b·c)。

幾類特殊的環(huán)

含單位元環(huán)：

在環(huán)的定義中，對(duì)于乘法單位(1)的存在并沒(méi)有做明確的要求。如果一個(gè)環(huán)R對(duì)于乘法有單位元存在(稱幺元素或幺元或單位元，記作‘1’)，則這個(gè)環(huán)稱為含幺環(huán)或含單位元環(huán)。

交換環(huán)：

雖然環(huán)的定義要求加法具有交換律，但并沒(méi)有要求乘法也具有交換律。如果我們上面定義的乘法具有交換性：ab=ba，那么這個(gè)環(huán)就稱為交換環(huán)。

除環(huán)：

主條目：除環(huán)

如果含單位元環(huán)R去掉關(guān)于加法的單位元0后，對(duì)于乘法形成一個(gè)群（一般來(lái)說(shuō)環(huán)R對(duì)乘法形成半群），那么這個(gè)環(huán)就稱為除環(huán)。除環(huán)不一定是交換環(huán)，比如四元數(shù)環(huán)。交換的除環(huán)就是域。

無(wú)零因子環(huán)：

一般來(lái)說(shuō)環(huán)R對(duì)乘法形成半群，但R\{0}對(duì)乘法不一定形成半群。因?yàn)槿绻袃蓚€(gè)非零元素的乘積是零，R\{0}對(duì)乘法就不是封閉的。如果R\{0}對(duì)乘法仍然形成半群，那么這個(gè)環(huán)就稱為無(wú)零因子環(huán)。

這個(gè)定義實(shí)際上等價(jià)于任意兩個(gè)非零元素的乘積非零。

整環(huán)：

主條目：整環(huán)

整環(huán)是含單位元的無(wú)零因子的交換環(huán)。例如多項(xiàng)式環(huán)和整數(shù)環(huán)。

主理想環(huán)：

主條目：主理想環(huán)

每一個(gè)理想都是主理想的整環(huán)稱為主理想環(huán)。

唯一分解環(huán)：

主條目：唯一分解環(huán)

如果一個(gè)整環(huán)R中每一個(gè)非零非可逆元素都能唯一分解，稱R是唯一分解環(huán).

商環(huán)：

主條目：商環(huán)

素環(huán)：

主條目：素環(huán)

例子：

整數(shù)環(huán)是一個(gè)典型的交換且含單位環(huán)。

有理數(shù)環(huán)，實(shí)數(shù)域，復(fù)數(shù)域都是交換的含單位元環(huán)。

所有項(xiàng)的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)環(huán)A的多項(xiàng)式全體A[X]是一個(gè)環(huán)。稱為A上的多項(xiàng)式環(huán)。

n為正整數(shù)，所有n×n的實(shí)數(shù)矩陣構(gòu)成一個(gè)環(huán)。

環(huán)的理想

主條目：理想

右理想： 令R是環(huán)， 那么環(huán)R與其加法 + 構(gòu)成阿貝爾群。令I(lǐng)是R的子集。那么I稱為R的右理想 如果以下條件成立：

(I, +) 構(gòu)成 (R, +) 的子群。

對(duì)于任意 和 有 。

左理想： 類似地，I稱為R的左理想如果以下條件成立：

(I, +) 構(gòu)成 (R, +) 的子群。

對(duì)于任意 和 有 。

如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做雙邊理想，簡(jiǎn)稱理想。

例子：

整數(shù)環(huán)的理想：整數(shù)環(huán)Z只有形如的nZ理想。

除環(huán)的理想：除環(huán)中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。

一般性質(zhì)：

定理1 在環(huán)中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。

定理2 在環(huán)中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。

對(duì)于R的兩個(gè)理想A，B，記。按定義不難證明下面的基本性質(zhì)：

(1) 如果A是R的左理想，則AB是R的左理想；

(2) 如果B是R的右理想，則AB是R的右理想；

(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。

如果A環(huán)R的一個(gè)非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，則<A>是環(huán)R的理想，這個(gè)理想稱為R中由A生成的理想, A稱為生成元集。同群的生成子群類似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況：

(1) 當(dāng)是交換環(huán)時(shí)，<A>=RA+ZA

(2) 當(dāng)是有單位元1的環(huán)時(shí)，<A>=RAR

(3) 當(dāng)是有單位元交換環(huán)時(shí)，<A>=RA

主理想：如果是個(gè)n元集合，則記，稱是有限生成理想.特別當(dāng)是單元素集時(shí)，稱為環(huán)R的主理想。注意作為生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：

性質(zhì)：

幾類特殊環(huán)中的主理想：

(1) 如果是交換環(huán)，則

(2) 如果是有單位元的環(huán)，則

(3) 如果是有單位元的交換環(huán)，則

真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。

極大理想： 一個(gè)真理想I被稱為R的極大理想，如果沒(méi)有其他真理想J,使得I是J的真子集。

極大左理想：設(shè) I 是環(huán)R的左理想，如果并且在 I 與R之間不存在真的左理想，則稱 I 是環(huán)R的一個(gè)極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關(guān)系：

(1)如果 I 是極大左理想，又是雙邊理想，則 I 是極大理想。

(2)極大理想未必是極大左理想。

除環(huán)的零理想是極大理想。在有單位元的環(huán)中，如果零理想是其極大理想,稱這種環(huán)是單環(huán)。除環(huán)是單環(huán)，域也是單環(huán)。反之則不對(duì)，即存在不是除環(huán)的單環(huán)。

定理1 在整數(shù)環(huán)Z中，由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素?cái)?shù)。

定理2 設(shè)R是有單位元1的交換環(huán)。理想 I 是R的極大理想的充分且必要條件是：商環(huán)R / I是域。

定理3 設(shè) I 是環(huán)R的左理想，則 I 是R的極大左理想的充分必要條件是對(duì)R的任意一個(gè)不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。

素理想：真理想I被稱為R的素理想，如果對(duì)于R的任意理想A，B， 可推出 或 。

素環(huán)：如果環(huán)R的零理想是素理想，則稱R是素環(huán)(或質(zhì)環(huán))。無(wú)零因子環(huán)是素環(huán)。在交換環(huán)R中，真理想 I 是素理想的充分且必要條件是：R / I是素環(huán).

半素理想：設(shè) I 是環(huán)R的理想，并且。如果對(duì)任意理想P，由，可得，則稱 I 是環(huán)R的半素理想。

顯然，半素理想是一類比素理想相對(duì)較弱條件的理想，因?yàn)樗乩硐胧前胨乩硐耄胨乩硐胛幢厥撬乩硐搿?/p>

證明整數(shù)環(huán)是主理想環(huán)

Z6不是無(wú)零因子環(huán)。因?yàn)?乘3模6得0

什么時(shí)候使用消零因子法

當(dāng)然了。無(wú)左零因子的充要條件是左消去律成立，無(wú)右零因子的充要條件是右消去律成立。在環(huán)中，無(wú)左零因子等價(jià)于無(wú)零因子等價(jià)于無(wú)右零因子等價(jià)于消去律成立等價(jià)于非零元關(guān)于乘法成半群

環(huán)中零元素是零因子么

選D。

A B C都是整環(huán)，整環(huán)的定義中的一個(gè)條件就有無(wú)零因子。

D的話，他有三個(gè)零因子，分別是2 3 6

怎么證明無(wú)零因子

對(duì).如果p是素?cái)?shù),那么就是無(wú)零因子環(huán)