什么函數(shù)一定無(wú)原函數(shù) 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)

一個(gè)函數(shù)可以沒(méi)有原函數(shù)嗎?什么情況下沒(méi)有？舉例謝謝？什么樣的函數(shù)可積但是沒(méi)有原函數(shù)？請(qǐng)問(wèn)為什么包含可去間斷點(diǎn)的函數(shù)沒(méi)有原函數(shù)？

本文導(dǎo)航

• 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)
• 說(shuō)說(shuō)一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否唯一
• 函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型判斷

一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)

說(shuō)說(shuō)一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否唯一

原函數(shù)都存在，但不一定能用初等函數(shù)表示。

若原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，習(xí)慣上被稱為不可積。

例如 ∫(sinx/x)dx, ∫sin(x^2)dx, ∫e^(-x^2)dx 等。

函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型判斷

根據(jù)函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)得其逆否命題：不連續(xù)則不可導(dǎo)，所以含有間斷點(diǎn)的函數(shù)沒(méi)有原函數(shù)，即包含可去間斷點(diǎn)的函數(shù)沒(méi)有原函數(shù)。

在微積分中，一個(gè)函數(shù)f 的不定積分，或原函數(shù)，或反導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于f 的函數(shù) F ，即F ′

= f。

連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分；若在有限區(qū)間[a,b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且函數(shù)有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無(wú)窮間斷點(diǎn)，則原函數(shù)一定不存在，即不定積分一定不存在。

若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)必存在原函數(shù)，這是一個(gè)充分而不必要條件，也稱為“原函數(shù)存在定理”。

擴(kuò)展資料：

函數(shù)族F(x)+C(C為任一個(gè)常數(shù)）中的任一個(gè)函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，故若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那么其原函數(shù)為無(wú)窮多個(gè)。

例如：x3是3x2的一個(gè)原函數(shù)，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函數(shù)。因此，一個(gè)函數(shù)如果有一個(gè)原函數(shù)，就有許許多多原函數(shù)，原函數(shù)概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來(lái)的。

例如：已知作直線運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻t的速度為v=v(t),要求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

，就是求v=v(t)的原函數(shù)。原函數(shù)的存在問(wèn)題是微積分學(xué)的基本理論問(wèn)題，當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)時(shí)，其原函數(shù)一定存在。