極坐標的積分怎么計算 極坐標定積分上下限怎么求
使用極坐標簡化定積分計算，極坐標的定積分如何求？極坐標系求定積分問題，求詳解，極坐標方程求其圍成的面積用定積分怎么表示，例如ρ＝aθ？這個極坐標積分是怎么算出來的？極坐標積分是什么？
本文導航
極坐標定積分上下限怎么求
將x=rcosθ，y=rsinθ替換x，y
然后再添加rdrdθ。就是替換后的表達式，即：
∫∫f(x，y)dxdy=∫∫f(rsinθ，rsinθ)rdrdθ
然后是積分區(qū)域的替換，畫出直角坐標的形式，利用邊界，
對應找出r，θ的范圍。和x，y的表示一樣，第一層必須是不含變量的！
極坐標積分求面積的步驟
關鍵是如何寫出極坐標（以及柱坐標）的定積分的算式，記住每個情況的
雅科比，有了算式，計算與直角坐標系完全相同。
高數(shù)極坐標系求積分
如圖
極坐標求積分怎么算
(x-a)2+y2=a2x2+y2=2ax
定積分應用面積根據極坐標系下r>=0解出θ范圍即為積分區(qū)間，然后代入極坐標面積微元公式進行定積分即可。
面積為πa^2。
求解如下：
因為ρ=2acosθ，所以cosθ=ρ/2a>=0
所以θ的取值范圍是（-π/2,π/2)
則圍成的面積為：
S=∫1/2*ρ^2dθ=∫2a^2cosθdθ=a^2∫(1+cos2θ)dθ=a^2+1/2a^2sin2θ
因為積分范圍是（-π/2,π/2），所以有：
S=a^2+1/2a^2sin2θ
=a^2*[(0+π/2)-(0-π/2)]
=πa^2
所以曲線ρ=2acosθ所圍成圖形的面積為πa^2。
擴展資料：
坐標表示按逆時針方向坐標距離0°射線（有時也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標系中的x軸正方向。
比如，極坐標中的（3, 60°）表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。（?3, 240°）和(3, 60°)表示了同一點，因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方（240° ? 180° = 60°）。
參考資料來源：百度百科-極坐標方程
極坐標和三重積分的轉化公式
作代換：ρ = 2a sinφ
dρ = 2a cosφ
原積分 = ∫ [-pi/4, 0] dθ ∫ [0, -θ] 4a^2 sin^2φ dφ
= ∫ [-pi/4, 0] dθ ∫ [0, -θ] 4a^2 (1/2)(1-cos2φ) dφ
= ∫ [-pi/4, 0] a^2(2φ-sin2φ)| [0, -θ] dθ
= ∫ [-pi/4, 0] a^2(-2θ+sin2θ) dθ
= a^2 [-θ^2 - (1/2)cos2θ] | [-pi/4, 0]
= a^2 [pi^2/16 - 1/2]
極坐標幾何意義
極坐標系里的二重積分r是指極坐標的極徑，表示平面坐標點到原點的距離。
在極坐標系下計算二重積分，需將被積函數(shù)f（x，y），積分區(qū)域D以及面積元素dσ都用極坐標表示。函數(shù)f（x，y）的極坐標形式為f（rcosθ，rsinθ）。
二重積分注意：
如果函數(shù)f(x)在點a的任一鄰域內都無界，那么點a稱為函數(shù)f(x)的瑕點（無界間斷點）。無界函數(shù)的反常積分也稱作瑕積分。與定積分的聯(lián)系：在計算定積分時，需要注意在積分區(qū)間內是否存在瑕點。若存在，拆分區(qū)間段。
