幾何測度論 是什么 測度定義的描述

測度論是什么？數(shù)學(xué)體系，什么是幾何測度？

本文導(dǎo)航

• 測度的方法
• 一張圖看懂數(shù)學(xué)體系
• 測度定義的描述

測度的方法

測度理論是實變函數(shù)論的基礎(chǔ)。

所謂測度，通俗的講就是測量幾何區(qū)域的尺度。 我們知道直線上的閉區(qū)間的測度就是通常的線段長度； 平面上一個閉圓盤 的測度就是它的面積。

對于更一般的集合，我們能不能定義測度呢？ 比如直線上所有有理數(shù)構(gòu)成的集合，它的測度怎么衡量呢？

一個簡單的辦法， 就是先在每個有理點上找一個開區(qū)間覆蓋它，就好比給它帶個“帽子”。因為有理數(shù)集是可列集（就是可以排像自然一樣排好隊，一個個數(shù)出來，也叫可數(shù)集，見集合論），所以我們可以讓第n個有理數(shù)上蓋的開區(qū)間長度是第一個有理數(shù)（比方是1）上蓋的開區(qū)間長度的2^n分之一。 這樣所有那些開區(qū)間的長度之和是個有限值（就是1上的開區(qū)間長度的2倍）。

現(xiàn)在我們讓1上的開區(qū)間逐漸縮小趨向于一個點，那么所有區(qū)間的總長度也相應(yīng)縮小，趨向于長度0。 這樣我們就說有理數(shù)集的測度是0。 用上面這種方法定義的測度也叫外測度。

一個幾何區(qū)域有了測度，我們就可以定義上面的函數(shù)的積分，這是推廣的黎曼積分。

比如實數(shù)上的狄利克雷函數(shù)D(x)=1(如果x是有理數(shù))，0（如果x是無理數(shù)）。 如果按照通常的理解，我們發(fā)現(xiàn)狄利克雷函數(shù)在整個數(shù)軸上的定積分不存在；但是按照上面講的有理數(shù)的測度，我們就可以求出它的定積分是0。

一張圖看懂數(shù)學(xué)體系

數(shù)學(xué) 分類參考

◆ 數(shù)學(xué)史

* 中國數(shù)學(xué)史

* 外國數(shù)學(xué)史：巴比倫數(shù)學(xué)，埃及古代數(shù)學(xué)，希臘古代數(shù)學(xué)，印度古代數(shù)學(xué)，瑪雅數(shù)學(xué)，阿拉伯數(shù)學(xué)，歐洲中世紀數(shù)學(xué)，十六、十七世紀數(shù)學(xué)，十八世紀數(shù)學(xué)，十九世紀數(shù)學(xué)。

* 中國數(shù)學(xué)家：劉徽　祖沖之　祖暅　王孝通　李冶　秦九韶　楊輝　王恂　郭守敬　朱世杰　程大位　徐光啟　梅文鼎　年希堯　明安圖　汪萊　李銳　項名達　戴煦　李善蘭　華蘅芳　姜立夫　錢寶琮　李儼　陳建功　熊慶來　蘇步青　江澤涵　許寶騄　華羅庚　陳省身　林家翹　吳文俊　陳景潤　丘成桐　

* 國外數(shù)字家：泰勒斯　畢達哥拉斯　歐多克索斯　歐幾里得　阿基米德　阿波羅尼奧斯　丟番圖　帕普斯　許帕提婭　阿耶波多第一　博伊西斯,A.M.S.　婆羅摩笈多　花拉子米　巴塔尼　阿布·瓦法　奧馬·海亞姆　婆什迦羅第二　斐波那契,L.　納西爾丁·圖西　布雷德沃丁,T.　奧爾斯姆,N.　卡西　雷格蒙塔努斯,J.　塔爾塔利亞,N.　卡爾達諾,G.　費拉里,L.　邦貝利,R.　韋達,F.　斯蒂文,S.　納皮爾,J.　德扎格,G.　笛卡爾,R.　卡瓦列里,(F)B.　費馬,P.de　沃利斯,J.　帕斯卡,B.　巴羅,I.　格雷果里,J.　関孝和　牛頓,I.　萊布尼茨,G.W.　洛必達,G.-F.-A.de　伯努利家族　棣莫弗,A.　泰勒,B.　馬克勞林,C.　歐拉,L.　克萊羅,A.-C.　達朗貝爾,J.le R.　蒙蒂克拉,J.E.　朗伯,J.H.　貝祖,E.　拉格朗日,J.-L.　蒙日,G.　拉普拉斯,P.-S.　勒讓德,A.-M.　傅里葉,J.-B.-J.　熱爾崗,J.-D.　高斯,C.F.　泊松,S.-D.　波爾查諾,B.　貝塞爾,F.W.　彭賽列,J.-V.　柯西,A.-L.　麥比烏斯,A.F.　皮科克,G.　羅巴切夫斯基　格林,G　沙勒,M.　拉梅,G.　施泰納,J.　施陶特,K.G.C.von 　普呂克,J.　奧斯特羅格拉茨基,M.B.　阿貝爾,N.H.　波爾約,J.　斯圖姆,C.-F.　雅可比,C.G.J.　狄利克雷,P.G.L.　哈密頓,W.R.　德·摩根,A.　劉維爾,J.　格拉斯曼,H.G.　庫默爾,E.E.　伽羅瓦,E.　西爾維斯特,J.J.　外爾斯特拉斯,K.(T.W.)　布爾,G.　斯托克斯,G.G.　切比雪夫　凱萊,A.　埃爾米特,C.　艾森斯坦,F.G.M.　貝蒂,E.　克羅內(nèi)克,L.　黎曼,(G.F.)B.　康托爾,M.B.　克里斯托費爾,E.B.　戴德金(J.W.)R.　杜布瓦-雷P.D.G.　諾伊曼,C.G.von　李普希茨,R.(O.S.).　克萊布什,R.F.A.　富克斯,I.L.　貝爾特拉米,E.　哥爾丹,P.A.　若爾當,C.　韋伯,H.　達布,(J.-)G.　李,M.S.　施瓦茲,H.A.　諾特,M.　康托爾,G.(F.P.)　克利福德,W.K.　米塔-列夫勒,(M.)G.　弗雷格,(F.L.)G.　克萊因,(C.)F.　弗羅貝尼烏斯,F.G.　柯瓦列夫斯卡婭,C.B.　亥維賽,O.　里奇,G.　龐加萊,(J.-)H.　馬爾可夫,A.A.　皮卡,(C.-)E.　斯蒂爾杰斯,T.(J.)　李亞普諾夫,A.M.　皮亞諾,G.　胡爾維茨,A.　沃爾泰拉,V.　亨澤爾,K.　希爾伯特,D.　班勒衛(wèi),P.　閔科夫斯基,H.　阿達爾,J.(-S.)　弗雷德霍姆,(E.)I.　豪斯多夫,F.　嘉當,E.(-J.)　波萊爾,(F.-E.-J.-E)　策梅洛,E.F.F.　羅素,B.A.W.　列維-齊維塔,T.　卡拉西奧多里,C.　高木貞治　勒貝格,H.L.　哈代,G.H.　弗雷歇,M.-R.　富比尼,G.　里斯,F.(F.)　伯恩施坦,C.H.　布勞威爾,L.E.J.　諾特,(A.)E.　米澤斯,R.von　盧津,H.H.　伯克霍夫,G.D.　萊夫謝茨,S.　李特爾伍德,J.E.　外爾,(C.H.)H.　萊維,P.　赫克,E.　拉馬努金,S.A.　費希爾,R.A.　維諾克拉多夫　莫爾斯　巴拿赫,S.　辛欽　霍普夫,H.　維納,N.　奈望林納,R.　西格爾,C.L.　阿廷,E.　哈塞,H.　扎里斯基,O.　博赫納,S.　布饒爾,R.(D.)　塔爾斯基,A.　瓦爾德,A.　柯爾莫哥洛夫,A.H.　馮·諾伊曼,J.　嘉當,H.　盧伊,H.　哥德爾,K.　韋伊,A.　勒雷,.J.　惠特尼,H.　克列因　阿爾福斯,L.V.　龐特里亞金　謝瓦萊,C.　坎托羅維奇　蓋爾范德　愛爾特?！∈┩郀柎摹⌒∑桨顝?。

* 數(shù)字著作：《算數(shù)書》《算經(jīng)十書》《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《綴術(shù)》《數(shù)術(shù)記遺》《夏侯陽算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》《數(shù)理精蘊》《疇人傳》《數(shù)書九章》《測圓海鏡》《益古演段》《四元玉鑒》《算法統(tǒng)宗》《則古昔齋算學(xué)》《幾何原本》《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》《幾何基礎(chǔ)》

* 中國古代數(shù)學(xué)計算方法：籌算，珠算，孫子剩余定理，增乘開方法，賈憲三角，招差法，盈不足術(shù)，百雞術(shù)。

* 其他：縱橫圖，記數(shù)法，黃金分割，希臘幾何三大問題，計算工具，和算，費爾茲獎，沃爾夫獎，希爾伯特數(shù)學(xué)問題，國際數(shù)學(xué)教育委員會，國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會，國際數(shù)學(xué)家大會，數(shù)學(xué)刊物，中國數(shù)學(xué)教育，中國數(shù)學(xué)研究機構(gòu)，中國數(shù)學(xué)會。

◆ 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯主義，形式主義，直覺主義。

◆ 數(shù)理邏輯

* 邏輯演算：命題、一階、高階、無窮、多值-模糊、模態(tài)、構(gòu)造邏輯等。

* 模型論：模態(tài)模型論，非標準模型等。

* 公理集合論：集合論公理系統(tǒng)，力迫方法，選擇公理，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等。

* 逆歸論：算法，遞歸函數(shù)，遞歸可枚舉集，不可解度，廣義遞歸論，判斷問題，分層理論等。

* 證明論：數(shù)學(xué)無矛盾性，哥德爾不完備性定理，構(gòu)造性數(shù)學(xué)，希爾伯計劃等。

◆ 集合論：集合，映射，序數(shù)，基數(shù)，超限歸納法，悖論，數(shù)系（實數(shù)，虛數(shù)），組合數(shù)學(xué)，圖論（四色問題）、算術(shù)等。

◆ 代數(shù)學(xué)

* 多項式：代數(shù)方程等。

* 線性代數(shù)：行列式，線性方程組，矩陣，自向量空間，歐幾里得空間，線性變換，線性型，二次性，多重線性代數(shù)等。

* 群：有限群、多面群體、置換群、群表示論、有限單群等。

* 無限群：交換群，典型群，線性代數(shù)群，拓撲群，李群，變換群，算術(shù)群，半群等。

* 環(huán)：交換環(huán)，交換代數(shù)，結(jié)合代數(shù)，非結(jié)合代數(shù)-李代數(shù)，模，格-布爾代數(shù)等。

* 乏代數(shù) * 范疇

* 同調(diào)代數(shù)-代數(shù)理論

* 域：代數(shù)擴張，超越擴張，伽羅瓦理論-代數(shù)基本定理，序域，賦值，代數(shù)函數(shù)域，有限域，p進數(shù)域等。

◆ 數(shù)論

* 初等數(shù)論：整除，同余，二次剩余，連分數(shù)，完全數(shù)，費馬數(shù)，梅森數(shù)，伯努利數(shù)，數(shù)論函數(shù)，抽屜原理等。

* 不定方程：費馬大定理等。

* 解析數(shù)論：篩法，素分布法，黎曼ζ函數(shù)，狄利克雷特征，狄利克雷L函數(shù)，堆壘數(shù)論-整數(shù)分拆，格點問題，歐拉常數(shù)等。

* 代數(shù)數(shù)論：庫默爾擴張，分圓域，類域論等。

* 數(shù)的幾何 * 丟番圖逼近 * 一致分布 * 超越數(shù)論 * 概率數(shù)論 * 模型式論 * 二次型的算術(shù)理論 * 代數(shù)幾何

◆ 幾何學(xué)

* 歐幾里得幾何學(xué)-希爾伯特公理系統(tǒng)：歐里幾得空間，坐標系，圓周率，多邊形，多面體等。

* 解析幾何學(xué)：直線，平面，二次曲線，二次曲面，二次曲線束，二次曲面束，初等幾何變換，幾何度量等。

* 三角學(xué)

* 綜合幾何學(xué)：尺規(guī)作圖-希臘幾何三大問題等。

* 仿射幾何學(xué)：仿射變換等。

* 射影幾何學(xué)：對偶原理，射影坐標，射影測度，絕對形，交比-圓點，直線幾何等。

* 埃爾朗根綱領(lǐng) * 百歐幾里得幾何學(xué)

* 微分幾何學(xué)：曲線，曲面-直紋面-可展曲面-極小曲面等。

* 微分流形：張量，張量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，復(fù)流形，辛流形，黎曼幾何學(xué)，常曲率黎曼空間-齊性空間-黎曼流形的變換群-閔科夫斯基空間，廣義相對論，聯(lián)絡(luò)論，楊-米爾斯理論，射影微分幾何學(xué)，仿射微分幾何學(xué)，一般空間微分幾何學(xué)，線匯論，積分幾何學(xué)等。

◆ 拓撲學(xué)

* 一般拓撲學(xué)（拓撲空間，度量空間，維數(shù)，多值映射

* 代數(shù)拓撲學(xué)（同調(diào)論，同倫論-CW復(fù)形，纖維叢-復(fù)疊空間，不動點理論-閉曲面的分類-龐加萊猜想

* 微分拓撲學(xué)（流形-橫截性

* 紐結(jié)理論 * 可微映射的奇點理論 * 突變理論 * 莫爾斯理論

◆ 分析學(xué)

* 微積分學(xué)

** 函數(shù)：初等函數(shù)，隱函數(shù)等。

** 極限：函數(shù)的連續(xù)性等。

** 級數(shù)

** 微分學(xué)：導(dǎo)數(shù)，微分，中值定理，極值等。

** 積分學(xué)：積分，原函數(shù)，積分法，廣義積分，含參變量積分等。

** 多元微積分學(xué)：偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，雅可比矩陣，雅可比行列式，向量，向量分析，場論等。

* 復(fù)變函數(shù)論：復(fù)變函數(shù)（解析函數(shù)，柯西積分定理，解析函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)，泰勒級數(shù)，洛朗級數(shù)，留數(shù)，調(diào)和函數(shù)，最大模原理，共形映射，特殊函數(shù)，整函數(shù)，亞純函數(shù)，解析開拓，橢圓函數(shù)，代數(shù)函數(shù)，模函數(shù)，函數(shù)值分布論，黎曼曲線，單葉函數(shù)，正規(guī)族，擬共形映射，解析函數(shù)邊值問題，狄利克雷級數(shù)，解析函數(shù)邊界性質(zhì)，拉普拉斯變換，積分變換，泰希米勒空間，廣義解析幾何等）。

* 多復(fù)變函數(shù)論

* 實變函數(shù)論：勒貝格積分，有界變差函數(shù)，測度論，黎曼-斯蒂爾杰斯積分，赫爾德不等式，施瓦茲不等式，閔科夫斯基不等式，延森不等式等。

* 泛函分析：泛函數(shù)，函數(shù)空間，索伯列夫空間，拓撲線性空間，巴拿赫空間，半序線性空間，希爾伯特空間，譜論，向量值積分，線性算子，全連續(xù)算子，譜算子，線性算子擾動理論，賦范代數(shù)，廣義函數(shù)，非線性算子（泛函積分，算子半群，遍歷理論，不變子空間問題）等。

* 變分法：變分法，大范圍變分法等。

* 函數(shù)逼近論：函數(shù)構(gòu)造論，復(fù)變函數(shù)逼近（外爾斯特拉斯-斯通定理，拉格朗日插值多項式逼近，埃爾米特插值多項式逼近，三角多項式，連續(xù)模，強迫逼近，有理函數(shù)逼近，正交多項式，帕德逼近，沃外爾什逼近，聯(lián)合逼近，抽象逼近，寬度，熵，線性正算子逼近，傅里葉和）等

* 傅里葉分析：三角函數(shù)，傅里葉級數(shù)，傅里葉變換-積分（傅里葉積分算子，乘子，共軛函數(shù)，盧津問題，李特爾伍德-佩利理論，正交系，極大函數(shù)，面積積分，奇異積分，算子內(nèi)插，BMO空間，Hp空間，奇異積分的變換子，佩利-維納定理，卷積，Ap權(quán)），概周期函數(shù)，群上調(diào)和分析（哈爾測度，正定函數(shù)，譜綜合）等。

* 流形上的分析：霍奇理論，幾何測度論，位勢論等。

* 凸分析 * 非標準分析

◆ 微分方程

* 常微分方程（初等常數(shù)微分方程,線性常微分方程,常微分方程初值問題,常微分方程邊值問題,常微分方程解析理論,常微分方程變換群理論,常微分方程定性理論,常微分方程運動穩(wěn)定性理論,哈密頓系統(tǒng),概周期微分方程,抽象空間微分方程,泛函數(shù)分方程-微分差分方程,常微分方程攝動方法,常微分方程近似解似解,動力系統(tǒng)-拓撲動力系統(tǒng)-微分動力系統(tǒng)

* 偏微分方程（數(shù)學(xué)物理方程,一階偏微分方程,哈密頓-雅可比理論,偏微分方程特征理論,橢圓型偏微分方程-拉普拉斯方程,雙曲型偏微分方程-波動方程,雙曲守恒律的間斷解,拋物型偏微分方程-熱傳導(dǎo)方程,混合型偏微分方程,孤立子,索伯列夫空間,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值與特征函數(shù),數(shù)學(xué)物理中的反問題,自由邊界問題,分歧理論,發(fā)展方程,不適定問題

* 積分方程：弗雷德霍姆積分方程,沃爾泰拉積分方程,對稱核積分方程,奇異積分方程,維納-霍普夫方程,維納-霍普夫方法等。

◆ 計算數(shù)學(xué)

* 數(shù)值分析：數(shù)值微分等。

* 數(shù)值逼近：插值，曲線擬合等。

* 計算幾何：樣條函數(shù)值積分-數(shù)論網(wǎng)格求積分法，有限差演算，有限差方程等。

* 常微分方程初值問題數(shù)值解法：單步法，多步法，龍格-庫塔法，亞當斯法等。

* 常微分方程邊值問題數(shù)值解法：打靶法等。

* 高次代數(shù)方程求根 * 超越方程數(shù)值解法

* 非線性方程組數(shù)值解法：迭代法，牛頓法等。

* 最優(yōu)化

* 線性規(guī)劃：單純形方法等。

* 無約束優(yōu)化方法 * 約束優(yōu)化方法 * 概率統(tǒng)計計算

* 蒙特卡羅達：偽隨機數(shù)等。

* 代數(shù)特征值問題數(shù)值解法：廣義特征值問題數(shù)值解法等。

* 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法：稀疏矩陣，廣義逆矩陣，對角優(yōu)勢矩陣，病態(tài)矩陣，消元法-高斯消去法，松馳法，共軛梯度法等。

* 偏微分方程邊值問題差分方法

* 偏微分方程初值問題差分方法：計算流體力學(xué)，特片線法，守恒格式，分步法（局部一維方法、交替方向隱式法、顯式差分方法、隱式差分方法），有限差分方法，有限元方法，里茨-加廖金方法（里茨法、加廖金法），玻耳茲曼方程數(shù)值解法，算圖-諾模圖等。

* 數(shù)值軟件：并行算法，誤差，最小二乘法，外推極限法，快速傅里葉變換-快速數(shù)論變換，數(shù)值穩(wěn)定性，區(qū)間分析，計算復(fù)雜性等。

◆ 概率論

* 概率分布（數(shù)學(xué)期望，方差，矩，正態(tài)分布，二項分布，泊松分布

* 隨機過程（馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程，鞅，獨立增量過程，點過程，布朗運動，泊松過程，分支過程，隨機積分，隨機微分方程，隨機過程的極限定理，隨機過程統(tǒng)計，濾波，無窮粒子隨機系統(tǒng)等。

* 概率，隨機變量 * 概率論中的收斂 * 大數(shù)律 * 中心極限定理 * 條件期望

◆ 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)

* 參數(shù)估計：點估計，區(qū)間估計等。

* 假設(shè)檢驗：列聯(lián)表等。

* 線性統(tǒng)計模型：回歸分析，方差分析等。

* 多元統(tǒng)計分析：相關(guān)分析等。

* 統(tǒng)計質(zhì)量管理：控制圖，抽樣檢驗，壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，概率紙等。

* 總體 * 樣本 * 統(tǒng)計量 * 實驗設(shè)計法 * 抽樣調(diào)查 * 統(tǒng)計推斷 * 大樣本統(tǒng)計 * 統(tǒng)計決策理論 * 序貫分析

* 非參數(shù)統(tǒng)計 * 穩(wěn)健統(tǒng)計 * 貝葉斯統(tǒng)計 * 時間序列分析 * 隨機逼近 * 數(shù)據(jù)分析

◆ 運籌學(xué)

* 數(shù)學(xué)規(guī)則：線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，無約束優(yōu)化方法，約束優(yōu)化方法，幾何規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，多目標規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃-策略迭代法，不動點算法，組合最優(yōu)化-網(wǎng)絡(luò)流，投入產(chǎn)出分析等。

* 軍事運籌學(xué)：徹斯特方程，對抗模擬，對策論，最優(yōu)化等。

* 馬爾可夫決策過程 * 搜索論 * 排隊論 * 庫存論 * 決策分析 * 可靠性數(shù)學(xué)理論 * 計算機模擬 * 統(tǒng)籌學(xué) * 優(yōu)選學(xué)

◆ 數(shù)學(xué)物理

◆ 控制理論

◆ 信息論

◆ 理論計算機科學(xué)

◆ 模糊性數(shù)學(xué)

測度定義的描述

20世紀初測度論的建立，使得人們對R中的子集關(guān)于n維勒貝格測度μn的行為有了很好的了解。大部分函數(shù)論由于勒貝格積分論而產(chǎn)生了巨大變化。但是在處理與R中低維點集有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時遇到了困難。例如著名的普拉托問題，在二維曲面時尚可以結(jié)合共形變換和狄利克雷原理巧妙地應(yīng)用勒貝格方法而解決。而在曲面的維數(shù)超出2時,這些經(jīng)典的方法就失敗了。幾何測度論正是在這種背景下產(chǎn)生。它始于1914年C.卡拉西奧多里關(guān)于測度論的基礎(chǔ)性工作，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，熔合了來自分析、幾何、代數(shù)拓撲中的許多技巧，產(chǎn)生了許多新的概念，成為數(shù)學(xué)研究的一個有力工具。

豪斯多夫測度與可求積集合在卡拉西奧多里的工作出現(xiàn)以后的開始20～30年內(nèi)，大部分的興趣在于了解R中的子集關(guān)于m 維豪斯多夫測度, 積分幾何測度等各類測度的行為。對于A嶅R,0≤k<∞,δ>0,定義A的k維豪斯多夫測度（簡稱h測度）為幾何測度論

，

式中幾何測度論

。h測度是R中的一個博雷爾正則測度。又定義inf{k:h(A)=0}為A的豪斯多夫維數(shù),簡稱h 維數(shù)。當k=n時，h(A)=μn(A)，n=0時h(A)為A的元素個數(shù)。0和n中間每個數(shù)均可出現(xiàn)為R中某個子集的h 維數(shù)。例如康托爾集的h 維數(shù)為ln2/ln3。

設(shè)A的h測度有限, 在k>0時,若存在R中某個有界子集到 A的李普希茨映射（即二點距離的增長比受到某個正常數(shù)控制的映射）,那就稱A為k可求積集（k=0時為有限集，也稱可求積集）。如果A除了一個h測度為0的子集外,為可列個k可求積集合覆蓋,就稱A為(h,k)可求積集。集合的可求積性質(zhì)是一階光滑流形的某種推廣。事實上,A為(h,k)可求積集合的充要條件是：除了一個h測度為0的子集外,它可由R中可列個C類k維子流形所覆蓋。可求積集合的這種描述使得對于它的構(gòu)造的研究，特別是它的射影性質(zhì)的研究成為幾何測度論的重要內(nèi)容。在A不含有h測度大于0的k可求積子集時,稱A為純粹(h,k)不可求積集合。

設(shè)p:R→R為正交射影,即保持內(nèi)積不變的線性映射。其共軛記為p,它的全體記為幾何測度論

(n,k),正交群O(n)=O(n,n)通過右乘可遞地作用在幾何測度論

(n, k)上。這個運算在幾何測度論

(n,k)上誘導(dǎo)出惟一的不變測度θ,使得空間幾何測度論

(n,k)關(guān)于θ的全測度等于1，那么當A為(h,k)可求積集合時，成立幾何測度論

式中幾何測度論

。上式右邊即為A的積分幾何測度I幾何測度論

，它先在A與n-k維仿射子空間p(y)的交集上積分，然后讓p取遍所有正交射影。因此這個式子反應(yīng)了 (h，k)可求積集合的射影性質(zhì)。這是求平面曲線長度的克羅夫頓方法的推廣，也類似于柯西尋求凸體周界面積的方法。另一方面, 對于h測度有限的任何博雷爾集B，總存在博雷爾子集C嶅B,使得幾何測度論

，幾何測度論

,且(B\C為純粹(h,k)不可求積。進一步,幾何測度論

成立,當且僅當B為(h,k)可求積。以上這些結(jié)果首先為A.S.貝斯爾科里奇對平面上的h測度得到。1947年，H.費德雷爾證明了一般情形。

在幾何測度論發(fā)展早期就知道，對于R中每個勒貝格可測集W以及R到R的李普希茨映射?，有面積公式幾何測度論

，

式中Jk?(x)為?的雅可比式。在?為一一時，右邊的積分就等于h(?(W)),因此對于n可求積集合,它的h測度就等于微分幾何中的 n維體積。利用映射在一點“近似可微”這個概念, 可以將這個公式推廣到R中的(h,k)可求積集合。但在?(W )的h 維數(shù)小于n時，公式反映的信息很少。1957年，費德雷爾證明：對每個李普希茨映射幾何測度論

,及每個μn可測集W 成立余面積公式：幾何測度論

。

面積公式與余面積公式分別應(yīng)用于目標空間的維數(shù)至少為n與至多為n的情形。因此可將它們看成是對偶的公式，余面積公式也已被推廣到(h,k)可求積集合的情形。這些公式的研究使得人們了解到，關(guān)于可微映射的積分變換的本質(zhì)上的假定在于對這個映射的雅可比式秩的限制。

密度密度與近似切錐是描述一個測度局部行為的兩個重要概念。對于拉東測度v，以α為心,r為半徑的球關(guān)于v的測度與幾何測度論

的比值，在r→0時的上極限與下極限分別稱為測度v在α點的k維上密度與k維下密度。二者相等時就稱為k維密度幾何測度論

(v,α)。利用上密度可以定義集合的近似切錐，它何時成為向量空間與該集合的可求積性質(zhì)和射影性質(zhì)有著深刻的聯(lián)系。利用密度定義的另一個重要概念是集合在一點的外法線。當集合有光滑邊界時，這個概念非常直觀，在一般情形相當復(fù)雜。

給定點集Q，如下定義新的測度у墯Q:集合G關(guān)于у墯Q 的測度у墯Q(G)=у(Q∩G)。集合A在一點b的外法線是如下確定的一個單位向量u=n(A，b),當Q1為過b點且以u為法向的超平面圍成的半空間(x-b)·u>0時，幾何測度論

幾何測度論

,Q2為另一半空間(x-b)·u<0時,幾何測度論

。這個概念只含有點集A關(guān)于μn的測度論行為，而不用預(yù)先知道A的拓撲結(jié)構(gòu),甚至邊界的概念也未提到。這樣可塑的概念使高斯-格林公式推廣到相當一般的程度:設(shè)集合A嶅R,令幾何測度論

,幾何測度論

。如果對每個緊集幾何測度論

,那么對R上有緊集的每個李普希茨一階向量場ξ，成立幾何測度論

。

另一方面，若以BdryA記A的普通邊界，那么在對R的每個緊集K，都有幾何測度論

時,上述條件滿足，從而推廣的高斯-格林公式也成立。

整流長期以來，人們就尋求著n維空間中“k維積分區(qū)域”的分析與拓撲的描述。這個概念應(yīng)該保留微分流形的光滑性與整系數(shù)多面體鏈的組合性質(zhì)所帶來的好處，同時為滿足變分的需要，這類區(qū)域應(yīng)具有某種緊致性質(zhì)。“整流”正是為這樣的需要而產(chǎn)生。

設(shè)U 為R中的開集，以幾何測度論

(U)記緊支集落在U內(nèi)的m 階光滑微分形式全體。幾何測度論

(U)上的線性泛函稱為m維流,其全體記為幾何測度論

m(U)。流S ∈幾何測度論

m(U)的支集sptS理解為U內(nèi)的最小相對緊子集C, 使得對一切滿足 sptφCU\C的 φ∈幾何測度論

(U ), 有S(φ)=0。流這個概念是由法國數(shù)學(xué)家G.-W.德·拉姆為研究霍奇理論而引入的。由于一個曲面決定于對定義在它上面的任意 m階光滑微分形式的積分運算。因此m 維幾何曲面可以分析地表示成一個流。特別地,由點α0,α1,…,αm生成的單純形若落在U內(nèi),那么它也代表一個流。這種流的整系數(shù)線性組合，稱為U中的一個整系數(shù)多面體鏈。如果一個流可以用整系數(shù)多面體鏈關(guān)于李普希茨映射的像來逼近，就稱它為可求積流。利用邊緣算子д可以構(gòu)成新的流дS,定義為дS(φ)=S(dφ)。這里d為外微分運算，如果S與дS均為可求積流,就稱S為整流。例如每個一維整流是總長度小于∞的有限多條單弧與可數(shù)條單閉弧的和。R 中的每個n維整流可表示成幾何測度論

,其中e1,e2,…,en為R的切空間的標準基，A為使得推廣的高斯-格林公式成立的勒貝格可測集。當1<m<n時，R中的m維整流是相當復(fù)雜的。但重要的是，由緊支集在同一有界集內(nèi)且按某個范數(shù)有界的整流組成的集是緊的。正是這一點形成了變分學(xué)中新的幾何方法。

如果流S可以表示成R+дT，R和T都是可求積流,就稱S為整平坦鏈。利用邊緣算子可以建立這類流的同調(diào)理論。它與局部李普希茨范疇內(nèi)的、整系數(shù)的經(jīng)典奇異同調(diào)論同構(gòu)。但對于積分問題，相交理論等，這種鏈群明顯地優(yōu)于奇異鏈群。因為與奇異鏈不一樣，一條平坦鏈與其分刈等同,這就簡化了循環(huán)的構(gòu)造,并得到較好的實系數(shù)上循環(huán)。不僅如此，還發(fā)現(xiàn)所謂的等周不等式不僅對經(jīng)典的微分幾何中某些特殊情形成立，而且對這種同調(diào)論有類似估計，這就將代數(shù)拓撲與測度論聯(lián)系起來了。

可以用流的理論來研究普拉托問題，存在性定理表明極小曲面總是一個m維局部可求積流，即這樣的流S∈幾何測度論

m(U),對每個x∈U，總存在緊支集在U內(nèi)的可求積流R，使x媂spt(S-R)。曲面的光滑性問題就是sptS的光滑性問題。若α∈sptS存在領(lǐng)域V嶅R,使V∩sptS為C類m維子流形,就稱α為正則點，否則就稱奇點。由于幾何測度論的發(fā)展,使高維普拉托問題取得重大進展。當m ≤6時極小曲面是光滑的,在m≥7時奇點集的h 維數(shù)不超過m-7。

類似于局部可求積流，可以定義局部整流，局部整平坦流。后者與流形上分析中的實解析子簇與復(fù)解析子簇有十分密切的關(guān)系。

弱可微函數(shù)又稱有界變差函數(shù)。R上光滑函數(shù)的可微性可以用這樣的方法來刻畫：對于R上有緊支集的李普希茨向量場ξ，成立

幾何測度論

，但是右邊的積分并不一定要求?光滑,僅要求?局部μn可積。因此ξ(x)的這個線性泛函可以看成 ? 的測度論意義下的弱微分，只要它滿足里斯表示定理的有界性假定。這種? 稱作弱可微函數(shù)。開集幾何測度論

上的弱可微函數(shù)全體記為BV(幾何測度論

),則BV(幾何測度論

)按范數(shù)幾何測度論

形成巴拿赫空間。弱可微函數(shù)曾在各種場合下出現(xiàn)，首先在勒貝格面積論，而后在偏微分方程論中，特別地，它是極小曲面的理論中的有力工具。

參考書目

H. Federer,Geometric Measure Theory,Springer-Verlag, Berlin, 1969.

E.Giusti,MiniMal Surfaces and Functions of Bounded variation,Birkh user, Basel-Stuttgart, 1984.

H.Whitney,Geometric Integration Theory,PrincetonUniv. Press, Princeton, 1957.