為什么可導(dǎo)是開區(qū)間 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上遞增的充分必要條件

為何導(dǎo)數(shù)都在開區(qū)間討論？導(dǎo)數(shù)定義為什么是開區(qū)間，而不是閉區(qū)間？羅爾定理為什么是開區(qū)間可導(dǎo)？對函數(shù)求導(dǎo)時，為什么說，區(qū)間一般指開區(qū)間？導(dǎo)函數(shù)為什么要定義在開區(qū)間上？為何可導(dǎo)要以開區(qū)間的形式？

本文導(dǎo)航

• 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上遞增的充分必要條件
• 用導(dǎo)數(shù)求極值是開區(qū)間還是閉區(qū)間
• 如何快速理解羅爾定理
• 怎么證明一個函數(shù)開區(qū)間可導(dǎo)
• 導(dǎo)函數(shù)的定義是什么
• 導(dǎo)數(shù)為什么強調(diào)開區(qū)間

導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上遞增的充分必要條件

當(dāng)自變量的增量Δx→0時函數(shù)增量 Δy與自變量增量之比的極限存在且有限，稱之為f在x0點的導(dǎo)數(shù)（或變化率)。在函數(shù)的開區(qū)間里，對于左端點x0,只能在(x0,x0+Δx)內(nèi)有定義，所以都在開區(qū)間討論

用導(dǎo)數(shù)求極值是開區(qū)間還是閉區(qū)間

在一個點導(dǎo)數(shù)存在，必須要左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，而在區(qū)間端點處，只能知道左導(dǎo)數(shù)或者右導(dǎo)數(shù)，所以不能確定函數(shù)在該處是否可導(dǎo)。所以導(dǎo)數(shù)定義時用開區(qū)間，挖去端點。

如何快速理解羅爾定理

如果閉區(qū)間的話

一般是寫成(a,b)可導(dǎo)

然后補充一個條件在端點連續(xù)[a,b]可導(dǎo)這種說法比較不嚴(yán)密。課本上提到閉區(qū)間都是寫在端點連續(xù)，然后開區(qū)間可導(dǎo)的。原因就是端點只能證明其連續(xù)，但是無法證明端點可導(dǎo)。我的理解。

怎么證明一個函數(shù)開區(qū)間可導(dǎo)

這需要用導(dǎo)數(shù)的極限定義（準(zhǔn)確定義），極限分左極限和右極限，同樣導(dǎo)數(shù)也分左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，只有左右導(dǎo)數(shù)均成立才說存在倒數(shù)，如果是閉區(qū)間，端點處只有左或右，所以導(dǎo)數(shù)不成立，因此一般用開區(qū)間。

導(dǎo)函數(shù)的定義是什么

也許你對可導(dǎo)的理解有問題。所謂可導(dǎo)是指在這一點處左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，而顯然，如果是閉區(qū)間，在端點處至少有一個導(dǎo)數(shù)不存在，也就沒有可不可導(dǎo)的問題了。

另外，導(dǎo)數(shù)是以某一點的導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)，延伸出導(dǎo)函數(shù)的概念。

僅把導(dǎo)函數(shù)理解為斜率也不完全正確。有些函數(shù)在某一點可導(dǎo)（其它點均不可導(dǎo)），可連圖像也做不出來，也無所謂斜率了。

導(dǎo)數(shù)為什么強調(diào)開區(qū)間

可導(dǎo)是考查函數(shù)圖象是否光滑這一特點的,比如 y=|x|在x=0處是"尖"的,所以不可導(dǎo).那么端點處無所謂光滑這一特點,所以一般以開區(qū)間來說明,而且常說在區(qū)間端點不定義導(dǎo)數(shù)