等價無窮小 怎么用 等價無窮小的使用條件是什么？

高等數(shù)學(xué)等價無窮小的幾個常用公式，等價無窮小的使用條件是什么？等價無窮小的使用，等價無窮小的使用條件是什么？等價無窮小的使用注意事項，關(guān)于等價無窮小使用條件問題。

本文導(dǎo)航

• 高等數(shù)學(xué)等價無窮小的幾個常用公式
• 等價無窮小代換的條件是什么
• 等價無窮小的使用
• 等價無窮小的使用條件是什么？
• 等價無窮小是怎么開的
• 關(guān)于等價無窮小使用條件問題?

高等數(shù)學(xué)等價無窮小的幾個常用公式

當x→0時， 　

　sinx~x 　

　tanx~x 　

　arcsinx~x 　　

arctanx~x 　　

1-cosx~(1/2)*（x^2）~ secx-1 　

（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna) 　　

（e^x）-1~x 　

　ln(1+x)~x 　　

(1+Bx)^a-1~aBx 　　

[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 　　

loga(1+x)~x/lna 　　

（1+x)^a-1~ax(a≠0) 　　

值得注意的是，等價無窮小一般只能在乘除中替換，

在加減中替換有時會出錯（加減時可以整體代換，不能單獨代換或分別代換）

等價無窮小代換的條件是什么

條件：

1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

事實上，等價無窮小是由泰勒公式推導(dǎo)而來，所以運用等價無窮小的結(jié)論就是，乘除可以整體換，而加減情況不能換，即使可以，那也是湊巧正確。下面給出什么情況下會“湊巧正確”。

使用等價無窮小有兩大原則：

1、乘除極限直接用。

2、加減極限時看分子分母階數(shù)。若使用等價無窮小后分子分母階數(shù)相同，則可用；若階數(shù)不同則不可用。

擴展資料

無窮小等價替換定理

設(shè)函數(shù)f、g、h

在

內(nèi)有定義，且有

(1)若

則

(2)若

則

參考資料來源：百度百科-等價無窮小

等價無窮小的使用

因為是需要求1/x*ln(x/ln(1+x))的極限，求不定時的極限時，等價無窮小在加減法中不能使用，只能在乘除法中使用，分子分母的因子只能整體替換，不能局部替換。也就是說ln(x/ln(1+x))只能作為一個整體替換。

等價無窮小的使用條件是什么？

條件：

1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

事實上，等價無窮小是由泰勒公式推導(dǎo)而來，所以運用等價無窮小的結(jié)論就是，乘除可以整體換，而加減情況不能換，即使可以，那也是湊巧正確。下面給出什么情況下會“湊巧正確”。

使用等價無窮小有兩大原則：

1、乘除極限直接用。

2、加減極限時看分子分母階數(shù)。若使用等價無窮小后分子分母階數(shù)相同，則可用；若階數(shù)不同則不可用。

性質(zhì)

1、無窮小量不是一個數(shù)，它是一個變量。

2、零可以作為無窮小量的唯一一個常量。

3、無窮小量與自變量的趨勢相關(guān)。

4、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。

5、有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量。

等價無窮小是怎么開的

1.等價的兩個無窮小之間的關(guān)系是“等價”而不是“相等”。所以，在不涉及極限運算時，不能直接用一個無窮小代替另一個。例如：當x－>0時，ln(1+ x)∽x，但

ln(1+ x)= x+ο(x).

當討論在點0附近函數(shù)f(x)+ ln(1+ x)-x的性態(tài)時，有

f(x)+ ln(1+ x)-x= f(x)+x+ο(x)-x=f(x)+ο(x).

而不能是

f(x)+ ln(1+ x)-x=f(x)+x-x=f(x) ！

2.在計算有理函數(shù)（分式函數(shù)）的極限時，用無窮小替換需要注意：替換可以對分式的分子或分母的因子進行；但當分子或分母是多項式時，一般不能只對其中的某些項進行無窮小替換，甚至對所有項分別替換都是不可以的！一個最典型的例子是：

求當x－> 0，函數(shù)(tanx-sinx)/ x^3的極限時，如果用tanx~x、sinx~x分別替換函數(shù)分子的兩項，則由于分子變成x-x=0，導(dǎo)致整個函數(shù)的極限等于0.但事實上，經(jīng)過如下簡單變形后

(tanx-sinx)/ x^3= sinx(1-cosx)/ x^3·cosx，

應(yīng)用無窮小替換sinx~x、1-cosx~x^2/2，容易求得最終極限是1/2 ！上面極限是0的錯誤的出現(xiàn)就是因為錯誤地對分子的各項分別作了無窮小替換！

簡而言之，“因子可替換，分項不可替換”！此處“因子”當然可以是整個分子或分母。

關(guān)于等價無窮小使用條件問題?

求極限時使用等價無窮小的條件：被代換的量，在去極限的時候極限值為0。被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。無窮小就是以數(shù)零為極限的變量。確切地說，當自變量x無限接近某個值x0(x0可以是0、∞、或是別的什么數(shù))時，函數(shù)值f(x)與零無限接近，即f(x)=0，則稱f(x)為當x→x0時的無窮小量。

數(shù)學(xué)：

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)是人類對事物的抽象結(jié)構(gòu)與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應(yīng)用于現(xiàn)實世界的任何問題，所有的數(shù)學(xué)對象本質(zhì)上都是人為定義的。從這個意義上，數(shù)學(xué)屬于形式科學(xué)，而不是自然科學(xué)。不同的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對數(shù)學(xué)的確切范圍和定義有一系列的看法。