矩陣單位化有什么區(qū)別 矩陣初等變換一定要寫變換方式嗎

矩陣單位化的問(wèn)題，初等變換與單位矩陣區(qū)別是什么？求解矩陣單位化的問(wèn)題，為什么會(huì)有矩陣的正交化和單位化？如何將一個(gè)矩陣的特征向量單位化？矩陣單位化的目的。

本文導(dǎo)航

• 矩陣的十大問(wèn)題
• 矩陣初等變換一定要寫變換方式嗎
• 為什么用單位矩陣求基礎(chǔ)解系
• 矩陣正交化步驟
• 矩陣特征向量的個(gè)數(shù)與秩的關(guān)系
• 矩陣變換什么時(shí)候需要單位化

矩陣的十大問(wèn)題

不用代入

矩陣初等變換一定要寫變換方式嗎

初等矩陣的概念是隨著矩陣初等變換的定義而來(lái)的。初等變換有三類：

1、位置變換：矩陣的兩行（列）位置交換；

2、數(shù)乘變換：數(shù)k乘以矩陣某行（列）的每個(gè)元素；

3、消元變換：矩陣的某行（列）元素同乘以數(shù)k，然后加到另外一行（列）上。

初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換后所得的矩陣。

則根據(jù)三類初等變換，可以得到三種不同的初等矩陣。

1、交換陣E(i,j)：?jiǎn)挝痪仃嚨趇行與第j行位置交換而得；

2、數(shù)乘陣E(i(k))：數(shù)k乘以單位矩陣第i行的每個(gè)元素（其實(shí)就是主對(duì)角線的1變成k）；

3、消元陣E(ij(k))：?jiǎn)挝痪仃嚨牡趇行元素乘以數(shù)k，然后加到第j行上。

其上的三種初等矩陣均可看成是單位矩陣的列經(jīng)過(guò)初等變換而得。

初等矩陣的模樣其實(shí)我們可以嘗試寫一個(gè)3階或者4階的單位矩陣，然后進(jìn)行初等變換來(lái)加深一下印象。

首先：初等矩陣都可逆，其次，初等矩陣的逆矩陣其實(shí)是一個(gè)同類型的初等矩陣（可看作逆變換）。

最關(guān)鍵的問(wèn)題是：初等矩陣能用來(lái)做什么？

當(dāng)我們用初等矩陣左乘一個(gè)矩陣A的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)矩陣A發(fā)生變化而成為矩陣B，而這種變化恰好是一個(gè)單位矩陣變成該初等矩陣所產(chǎn)生的變化。具體來(lái)說(shuō)：

左乘的情況：

1、E(i,j)A=B，則矩陣A第i行與第j行位置交換而得到矩陣B；

2、E(i(k))A=B，則矩陣A的第i行的元素乘以數(shù)k而得到矩陣B；

3、E(ij(k))A=B，則矩陣A的第i行元素乘以數(shù)k，然后加到第j行上而得到矩陣B。

結(jié)論1：用初等矩陣左乘一個(gè)矩陣A，相當(dāng)于對(duì)矩陣A做了一次相應(yīng)的行的初等變換。

右乘的情況：

4、AE(i,j)=B，則矩陣A第i列與第j列位置交換而得到矩陣B；

5、AE(i(k))=B，則矩陣A的第i列的元素乘以數(shù)k而得到矩陣B；

6、AE(ij(k))=B，則矩陣A的第i列元素乘以數(shù)k，然后加到第j列上而得到矩陣B。

結(jié)論2：用初等矩陣右乘一個(gè)矩陣A，相當(dāng)于對(duì)矩陣A做了一次相應(yīng)的列的初等變換。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

請(qǐng)注意并理解結(jié)論1和結(jié)論2中的“相應(yīng)”兩字。

初等矩陣為由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換（三種）而來(lái)，我們可以把初等矩陣看成是施加到單位矩陣E上的一個(gè)變換。

若某初等矩陣左（右）乘矩陣A，則初等矩陣會(huì)將原先施加到單位矩陣E上的變換，按照同種形式施加到矩陣A之上。或者說(shuō)，我們想對(duì)矩陣A做變換，但是不是直接對(duì)矩陣A去做處理，而是通過(guò)一種間接方式去實(shí)現(xiàn)。

就像武林中已經(jīng)失傳的絕技“隔山打?！币粯?。表演的時(shí)候一般是在一塊大石上放一塊豆腐，然后運(yùn)力一掌擊打在豆腐上，結(jié)果豆腐紋絲不動(dòng)，而下面的大石卻已四分五裂矣。

真有異曲同工之妙啊。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

所以我們可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：

對(duì)矩陣所做的任何的初等變換，都可以利用矩陣與初等變換的乘積來(lái)表示。

為什么用單位矩陣求基礎(chǔ)解系

單位化就是令列向量的模為1

假定βi=(a1，a2，a3)

令|β|=√a12+a22+a32

若要使|β|=1，那么根據(jù)比例分配

每個(gè)分配之后分別是a1/√a12+a22+a32 ,a2/√a12+a22+a32 ,a3/√a12+a22+a32 .

也就是βi/|β|

矩陣正交化步驟

矩陣沒(méi)有正交化或單位化，進(jìn)行正交化或單位化的是向量，對(duì)n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量進(jìn)行正交化后再單位化可以得到一個(gè)正交向量組，將這些向量豎著寫（橫著也無(wú)所謂）就可以得到一個(gè)正交矩陣。也就是說(shuō)一個(gè)可逆陣將其每一列都正交化單位化可得到一個(gè)正交矩陣，換個(gè)角度說(shuō)，將n維歐氏空間的任意一組基進(jìn)行正交化單位話后可以得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以正交化和單位化在歐式空間中應(yīng)用是很廣泛的?。。ㄖ档米⒁獾氖撬麄兊捻樞騿?wèn)題，一定要先正交化再單位化）

矩陣特征向量的個(gè)數(shù)與秩的關(guān)系

對(duì)于你的問(wèn)題特別說(shuō)明兩點(diǎn)：

1.既然對(duì)一般矩陣,屬于不同特征值的特征向量之間未必正交,那么正交化和單位化也就沒(méi)有什么意義,若勉強(qiáng)正交化,結(jié)果就不再是特征向量了；

2.對(duì)于二次型矩陣的化簡(jiǎn),一般只要求合同對(duì)角化就夠了,就是說(shuō),給定二次型矩陣 A ,只要找一個(gè) 可逆矩陣 P 使得 (P轉(zhuǎn)) A P = D 是對(duì)角矩陣就行了,這里的 P 不見得必須是正交陣.但是既然實(shí)對(duì)稱矩陣 A 可以正交相似對(duì)角化,我們當(dāng)然也可以要求 P 為正交矩陣,選 P 為正交矩陣的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是,它不會(huì)改變歐幾里得空間中兩點(diǎn)間的距離,從而在變換坐標(biāo)時(shí)可以保持空間圖形的形狀不發(fā)生變化,而選擇一般可逆矩陣 P就不一定能做到這一點(diǎn)了.

矩陣變換什么時(shí)候需要單位化

矩陣單位化的目的是為了得出正交陣（正交陣的列向量組是正交的單位向量）。

在矩陣的乘法中，有一種矩陣起著特殊的作用，如同數(shù)的乘法中的1，這種矩陣被稱為單位矩陣。它是個(gè)方陣，從左上角到右下角的對(duì)角線（稱為主對(duì)角線）上的元素均為1。

除此以外全都為0。根據(jù)單位矩陣的特點(diǎn)，任何矩陣與單位矩陣相乘都等于本身，而且單位矩陣因此獨(dú)特性在高等數(shù)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用。

矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，也常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣，矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。

相關(guān)性質(zhì)：

單位矩陣的特征值皆為1，任何向量都是單位矩陣的特征向量。

因?yàn)樘卣髦抵e等于行列式，所以單位矩陣的行列式為1。因?yàn)樘卣髦抵偷扔谯E數(shù)，單位矩陣的跡為n。