什么是廣義積分 廣義積分的幾何意義

什么是廣義積分？什么叫廣義積分？廣義積分是什么意思？什么是廣義積分，什么是超越方程？廣義積分的定義，什么樣的函數(shù)算廣義積分？什么是廣義積分呢？

本文導(dǎo)航

• 廣義積分的幾何意義
• 什么叫積分圖解
• 廣義積分是怎么算的
• 廣義積分分為哪兩類
• 廣義積分收斂意味什么
• 廣義積分中的a是怎么確定的

廣義積分的幾何意義

定積分概念的推廣。主要研究積分區(qū)間無窮和被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無界的情形。前者稱為無窮限廣義積分，或稱無窮積分；后者稱為無界函數(shù)的廣義積分，或稱瑕積分,也被稱為反常積分。

判定方法：

當(dāng)積分區(qū)間無界時(shí)（比如從0積分到正無窮大什么的）或者被積的函數(shù)無界時(shí)，這種積分叫廣義積分。

比如積分（從0到正無窮）1/x dx （即y=1/x一象限中與坐標(biāo)軸圍成的面積）

或者積分（從0到1）lnx dx （lnx在x=0處無定義）

什么叫積分圖解

積分區(qū)間為無限，按照定積分的定義，這兩種情形的積分都是沒有意義的。但是為了把定積分的概念推廣到這兩種情形，就定義：

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+無窮）有定義，且在任意有限區(qū)間[a,A]上可積。若極限

lim(A->+無窮)積分符號(hào)（從a到A）f(x)dx 存在，則稱詞極限為f(x)在該無窮區(qū)間上的廣義積分。

這個(gè)就是廣義積分的定義。如果你能理解極限的意思的話，這個(gè)應(yīng)該也好理解。

黎曼積分就是定積分，因?yàn)槎ǚe分這個(gè)定義在歷史上首先是由黎曼（Riemann）給出的。

廣義積分是怎么算的

定積分概念的推廣至分區(qū)間無窮和被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無界的情形成為廣義積分，又名反常積分。其中前者稱為無窮限廣義積分，或稱無窮積分；后者稱為無界函數(shù)的廣義積分，或稱瑕積分。

我是這么簡單理解的：定積分其實(shí)就是求面積，都是有限有邊界的；廣義積分都屬于無界的。相對(duì)于定積分的有界面積而言，廣義積分則是屬于沒有邊界的面積，是廣義上的面積 - -

廣義積分分為哪兩類

廣義積分 積分區(qū)間為無限，按照定積分的定義，這兩種情形的積分都是沒有意義的。但是為了把定積分的概念推廣到這兩種情形，就定義：

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+無窮）有定義，且在任意有限區(qū)間[a,A]上可積。若極限

lim(A->+無窮)積分符號(hào)（從a到A）f(x)dx 存在，則稱詞極限為f(x)在該無窮區(qū)間上的廣義積分。

這個(gè)就是廣義積分的定義。如果你能理解極限的意思的話，這個(gè)應(yīng)該也好理解。

黎曼積分就是定積分，因?yàn)槎ǚe分這個(gè)定義在歷史上首先是由黎曼（Riemann）給出的。 超越方程

施行有限次指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等運(yùn)算,這樣的方程叫做超越方程.初等超越方程高中可解。

超越方程解法有很多（不同類型解法不同），如轉(zhuǎn)化為微分方程，利用微分方程的數(shù)值解法求取超越方程的零點(diǎn)。

廣義積分收斂意味什么

定積分概念的推廣至分區(qū)間無窮和被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無界的情形成為廣義積分,又名反常積分.其中前者稱為無窮限廣義積分,或稱無窮積分；后者稱為無界函數(shù)的廣義積分,或稱瑕積分.

設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,+∞)上.若f(x)在任意[a,A](A>a)上可積,我們稱積分形式∫(A → +∞) f(x)dx為f(x)在[a,+∞)上的無窮積分.

設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,b)上,而f(x)在x=b的任一左鄰域內(nèi)f(x)無界（此時(shí)稱x=b為f(x)的瑕點(diǎn)）.若f(x)在任意[a,b-ε](0

廣義積分中的a是怎么確定的

反常積分又叫廣義積分，是對(duì)普通定積分的推廣，指含有無窮上限/下限，或者被積函數(shù)含有瑕點(diǎn)的積分，前者稱為無窮限廣義積分，后者稱為瑕積分（又稱無界函數(shù)的反常積分）。

定積分的積分區(qū)間都是有限的，被積函數(shù)都是有界的。但在實(shí)際應(yīng)用和理論研究中，還會(huì)遇到一些在無限區(qū)間上定義的函數(shù)或有限區(qū)間上的無界函數(shù)，對(duì)它們也需要考慮類似于定積分的問題。

因此，有必要對(duì)定積分的概念加以推廣，使之能適用于上述兩類函數(shù)。這種推廣的積分，由于它異于通常的定積分，故稱之為廣義積分，也稱之為反常積分。

混合反常積分

對(duì)于上下限均為無窮，或被積分函數(shù)存在多個(gè)瑕點(diǎn)，或上述兩類的混合，稱為混合反常積分。對(duì)混合型反常積分，必須拆分多個(gè)積分區(qū)間，使原積分為無窮區(qū)間和無界函數(shù)兩類單獨(dú)的反常積分之和。