可對(duì)角化矩陣長什么樣 矩陣的可對(duì)角化條件

如何判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化？如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化？如何判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化？？可對(duì)角化的矩陣通常都有哪些。

本文導(dǎo)航

• 如何證明一個(gè)矩陣可以對(duì)角化
• 如何快速看出一個(gè)矩陣能否對(duì)角化
• 矩陣的可對(duì)角化條件
• 可對(duì)角化的矩陣通常都有哪些?

如何證明一個(gè)矩陣可以對(duì)角化

將矩陣A的特征多項(xiàng)式完全分解， 求出A的特征值及其重?cái)?shù)，若k重特征值都有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化。否則不能對(duì)角化。

舉例說明：

如何快速看出一個(gè)矩陣能否對(duì)角化

1-存在可逆矩陣p,使得p-1Ap＝對(duì)角陣

2-有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

3-最小多項(xiàng)式可分解為互素一次因式的乘積

4-初等因子都是一次的

5-每個(gè)特征值的重?cái)?shù)等于對(duì)應(yīng)特征子空間的維數(shù)

6-屬于不同特征值的特征子空間的維數(shù)之和等于n

7-存在一個(gè)零化多項(xiàng)式可分解成互素一次因式的乘積

矩陣的可對(duì)角化條件

n級(jí)矩陣a可對(duì)角化＜=＞a的屬于不同特征值的特征子空間維數(shù)之和為n.

實(shí)際判斷方法：（1）先求特征值,如果沒有相重的特征值,一定可對(duì)角化；

（2）如果有相重的特征值λk,其重?cái)?shù)為k,那么你通過解方程（λke-a）x=0得到的基礎(chǔ)解系中的解向量若也為k個(gè),則a可對(duì)角化,若小于k,則a不可對(duì)角化.

此外,實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化.

你可以對(duì)照課本上的例題或習(xí)題.

可對(duì)角化的矩陣通常都有哪些?