等價無窮小減法怎么求 怎么理解等價無窮小加減不可換

關(guān)于等價無窮小中的加減替換，利用等價無窮小性質(zhì)時碰到加減運算怎么做？等價無窮小在加減運算中什么條件下才能用？等價無窮小的加減具體什么時候才能用?。康葍r無窮小何時可以加減替換，等價無窮小加減法替換條件是什么？

本文導航

• 關(guān)于等價無窮小中的加減替換
• 利用等價無窮小性質(zhì)時碰到加減運算怎么做
• 怎么理解等價無窮小加減不可換
• 等價無窮小的加減具體什么時候才能用??？
• 等價無窮小何時可以加減替換？
• 等價無窮小加減法替換條件是什么？

關(guān)于等價無窮小中的加減替換

1，做乘除法的時候一定可以替換

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。關(guān)鍵要記住道理

lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)

其中兩項的極限是1，所以就順利替換掉了。

2 加減法的時候也可以替換，注意余項！！替換之后其實是帶余項的 ，f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，這個是很多人說不能替換的原因，但你可以這樣看：f(x)～u(x)等價于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意是等號了，所以一定成立，問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量，此時余項o(f(x))成為主導，所以不能忽略掉。當u(x)+g(x)的階沒有提高時，o(f(x))仍然是可以忽略的。

舉個加減替換階沒變的例子：比如，{ln(1+x)+x}/x，這里的ln(1+x)+x是可以替換的，因為

ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，這里替換后階沒變，可以忽略余項。

所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。

你上面說的x-(1+x^2）arctanx，把arctanx替換成x再與1+x^2相乘，明顯變階了啊，懂嗎？

還有你說的相減的情況下用替換只要不等于零，是可以替換的，當然是不正確的。你要看階變了沒有，加減中原來不是零，替換后變成零了。明顯變階了，所以不能替換 比如：ln(1+x)-x，那么

ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，

此時發(fā)生了相消，余項o(x)成為了主導項，這時候你就不得不考慮余項了

利用等價無窮小性質(zhì)時碰到加減運算怎么做

原因在于等價無窮小的定義：

f(x)~g(x) (x->a) 它的意思是 lim(x->a) f(x)/g(x)=1.(1)

而在求極限時利用等價無窮小替換,本質(zhì)上是做了個變換:將f(x)化為 [f(x)/g(x)]*g(x),然后利用極限的四則運算,以及(1)式來解決為題.

看兩個例子 如果要求極限 lim(x->a) f(x)/h(x),此時可以替換,因為

lim(x->a) f(x)/h(x)=lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)}/h(x)=lim(x->a) [f(x)/g(x)]*[g(x)/h(x)]

=lim(x->a) g(x)/h(x)

但是如果求極限 lim(x->a) [f(x)-h(x)]/m(x).雖然也可以做變換,但是變完以后,不能用（1）

lim(x->a) [f(x)-h(x)]/m(x)=lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)-h(x)}/m(x)

由極限四則運算的應(yīng)用條件可以知道,你現(xiàn)在不能把其中的 f(x)/g(x) 這一部分單獨用（1）來求極限.

怎么理解等價無窮小加減不可換

加減情況下，你拆項以后得每一個子項如果極限也存在，那么就可以替換。如果有子項不存在，就不能替換。對應(yīng)兩個例子:lim(sinx+x)/x (x趨近于0)，這個拆開后兩個子項都存在且為1，則結(jié)果為1+1=2；

lim(ln(1+x)-x)/x2 (x趨近于0)，這個拆開后，第二個子項極限為無窮，則不能替換！

等價無窮小的加減具體什么時候才能用啊？

若A~A1，B~B1，并且limA1/B1=c，c不為1，此時對于A-B的等價無窮小才能進行減法。

至于加法，加法從減法可以推出，條件是;limA1/B1=c，c不為-1。

例如：sinx-x~x-x是錯誤的，因為由泰勒公式：sinx=x-x/3!+o(x)

所以sinx-x=x-x3/3!+o(x3)-x=-x3/3!+o(x3)~-x3/3!

求極限時，使用等價無窮小的條件

被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

等價無窮小何時可以加減替換？

x趨于0時候，求極限可以運用等價無窮小來求解。

x趨于0時候，求極限，可以運用等價無窮小來求解。x趨于0時候，求f（x2/sin2x）也可以使用等價無窮小求解。x2和sin2x是等價無窮小，所以可以求得函數(shù)的極限。

設(shè)有兩個命題p和q，如果由p作為條件能使得結(jié)論q成立，則稱p是q的充分條件；若由q能使p成立則稱p是q的必要條件；如果p與q能互推則稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，也稱p與q等價。

相關(guān)信息：

1、被代換的量，在去極限的時候極限值為0。

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

無窮小就是以數(shù)零為極限的變量。然而常量是變量的特殊一類，就像直線屬于曲線的一種。確切地說，當自變量x無限接近某個值x0(x0可以是0、∞、或是別的什么數(shù))時，函數(shù)值f(x)與零無限接近，即f(x)=0，則稱f(x)為當x→x0時的無窮小量。

等價無窮小是無窮小的一種。在同一點上，這兩個無窮小之比的極限為1，稱這兩個無窮小是等價的。等價無窮小也是同階無窮小。從另一方面來說，等價無窮小也可以看成是泰勒公式在零點展開到一階的泰勒展開公式。

等價無窮小加減法替換條件是什么？

等價無窮小加減法替換條件是極限的條件一致。

無窮小就是以數(shù)零為極限的變量。然而常量是變量的特殊一類，就像直線屬于曲線的一種。因此常量也是可以當做變量來研究的。這么說來，0是可以作為無窮小的常數(shù)。

從另一方面來說，等價無窮小也可以看成是泰勒公式在零點展開到一階的泰勒展開公式。極限為零的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小。等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

等價無窮小是無窮小之間的一種關(guān)系，指的是：在同一自變量的趨向過程中，若兩個無窮小之比的極限為1，則稱這兩個無窮小是等價的。無窮小等價關(guān)系刻畫的是兩個無窮小趨向于零的速度是相等的。

極限

數(shù)學分析的基礎(chǔ)概念。它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的數(shù)值(極限值)。極限方法是數(shù)學分析用以研究函數(shù)的基本方法，分析的各種基本概念(連續(xù)、微分、積分和級數(shù))都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上，然后才有分析的全部理論、計算和應(yīng)用.所以極限概念的精確定義是十分必要的，它是涉及分析的理論和計算是否可靠的根本問題。

歷史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先較為明確地給出了極限的一般定義。他說，“當為同一個變量所有的一系列值無限趨近于某個定值，并且最終與它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，這個定值就稱為這個變量的極限。

其后，外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照這個思想給出嚴格定量的極限定義，這就是數(shù)學分析中使用的ε-δ定義或ε-Ν定義等。從此，各種極限問題才有了切實可行的判別準則。在分析學的其他學科中，極限的概念也有同樣的重要性，在泛函分析和點集拓撲等學科中還有一些推廣。