怎么判定二次型正定 怎么判斷是不是二次型矩陣

簡(jiǎn)述如何判斷一個(gè)二次型是否正定？高等代數(shù)題判別二次型是否正定票，求各位解答 需要解題步驟，怎么判定一個(gè)二次型是正定的？如何判斷一個(gè)矩陣是正定，負(fù)定二次型？怎么判定二次型是正定還是半正定？正定二次型的判定方法。

本文導(dǎo)航

• 正定矩陣二次型判定
• 數(shù)學(xué)解析幾何為啥要構(gòu)造齊次式
• 如何判斷一個(gè)多項(xiàng)式為二次型
• 怎么判斷是不是二次型矩陣
• 二次型判定方法
• 正定二次型與正定矩陣的重要性

正定矩陣二次型判定

設(shè)A是二次型的矩陣

則A正定(即二次型正定)的充分必要條件是A的各階順序主子式都大于零.

所以, 只要計(jì)算A的各階順序主子式就可以了.

當(dāng)然, 也有特殊情況, 用定義直接證明二次型正定.

數(shù)學(xué)解析幾何為啥要構(gòu)造齊次式

像這種給出了二項(xiàng)式的具體表達(dá)式的的問題，以下兩種方法是最好的：

1、用其矩陣的各階順序主子式，如果各階順序主子式都大于0，則二次型是正定的，否則非正定。

2、求出其矩陣的三個(gè)特征值，如果所有特征值都大于0，則則二次型是正定的，否則非正定。

第一題中，二次型的矩陣為：

5 2 0

2 1 0

0 0 3

其各階順序主子式為

P1=5>0，P2=5-4=1>0,P3=3*1=3>0

故該二次型是正定的。

第二題你可仿照這方法自己判斷以下。

如何判斷一個(gè)多項(xiàng)式為二次型

1、行列式法

對(duì)于給定的二次型

，寫出它的矩陣，根據(jù)對(duì)稱矩陣的所有順序主子式是否全大于零來判定二次型 (或?qū)ΨQ矩陣)的正定性。

2、正慣性指數(shù)法

對(duì)于給定的二次型 ，先將化為標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)系數(shù)為正的個(gè)數(shù)是否等于n來判定二次型的正定性。

通過正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值。因此，可先求二次型矩陣的特征值，然后根據(jù)大于零的特征值個(gè)數(shù)是否等于n來判定二次型的正定性。

擴(kuò)展資料：

二次型是n個(gè)變量上的二次齊次多項(xiàng)式。下面給出一個(gè)、兩個(gè)、和三個(gè)變量的二次形式：;

其中a, ...,f是系數(shù)。注意一般的二次函數(shù)和二次方程不是二次形式的例子，因?yàn)樗鼈儾豢偸驱R次的。

任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個(gè) (n-2)維的投影空間。在這種方式下可把3維二次形式可視化為圓錐曲線。

術(shù)語二次型也經(jīng)常用來提及二次空間，它是有序?qū)Γ╒,q），這里的V是在域k上的向量空間，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三維歐幾里得空間中兩個(gè)點(diǎn)之間的距離可以采用涉及六個(gè)變量的二次形式的平方根來找到，它們是這兩個(gè)點(diǎn)的各自的三個(gè)坐標(biāo)。

參考資料來源：百度百科-正定二次型

怎么判斷是不是二次型矩陣

判斷一個(gè)矩陣是正定，負(fù)定二次型的步驟如下：

1、正定二次型和負(fù)定二次型的基本定義：

2、判定正定二次型的充要條件：

3、矩陣是正定，負(fù)定二次型基本推論：

4、求二次型是否正定：

5、判斷二次型的正定性：

6、判斷二次型的正負(fù)：

7、正定二次型的簡(jiǎn)單性質(zhì)，這樣判斷一個(gè)矩陣是正定，負(fù)定二次型的問題就解決了。

二次型判定方法

1、行列式法

對(duì)于給定的二次型

寫出它的矩陣，根據(jù)對(duì)稱矩陣的所有順序主子式是否全大于零來判定二次型 (或?qū)ΨQ矩陣)的正定性。

2、正慣性指數(shù)法

對(duì)于給定的二次型 ，先將化為標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)系數(shù)為正的個(gè)數(shù)是否等于n來判定二次型的正定性。

通過正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值。因此，可先求二次型矩陣的特征值，然后根據(jù)大于零的特征值個(gè)數(shù)是否等于n來判定二次型的正定性。

正定二次型與正定矩陣的重要性