怎么討論函數(shù)的連續(xù)性 高等數(shù)學(xué) 怎樣討論狄利克雷函數(shù)的連續(xù)性？

如何討論一個(gè)函數(shù)的連續(xù)性？是求定義區(qū)間還是說(shuō)明左右極限相等？討論函數(shù)連續(xù)性，討論函數(shù)的連續(xù)性，討論函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性，高等數(shù)學(xué) 怎樣討論狄利克雷函數(shù)的連續(xù)性？怎么討論函數(shù)的連續(xù)性？

本文導(dǎo)航

• 如何討論一個(gè)函數(shù)的連續(xù)性？是求定義區(qū)間還是說(shuō)明左右極限相等！
• 討論函數(shù)連續(xù)性
• 討論函數(shù)的連續(xù)性
• 討論函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性
• 高等數(shù)學(xué) 怎樣討論狄利克雷函數(shù)的連續(xù)性？
• 怎么討論函數(shù)的連續(xù)性？

如何討論一個(gè)函數(shù)的連續(xù)性？是求定義區(qū)間還是說(shuō)明左右極限相等！

連續(xù)性的定義是說(shuō)在該點(diǎn)左極限等于右極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值。

討論函數(shù)連續(xù)性

1，即討論分界點(diǎn)的極限值

x2+y2趨于0時(shí)

sin√x2+y2等價(jià)于√x2+y2

那么(x2+y2)/sin√x2+y2

等價(jià)于√x2+y2，趨于0

極限值等于函數(shù)值，所以連續(xù)

2，x不趨于0，y趨于0時(shí)

sin1/xy的極限值不存在

再乘以不趨于0的x

極限值不存在

討論函數(shù)的連續(xù)性

先看幾個(gè)定義：

（1）連續(xù)點(diǎn)：如果函數(shù)在某一鄰域內(nèi)有定義，且x->x0時(shí)limf(x)=f(x0)，就稱(chēng)x0為f(x)的連續(xù)點(diǎn)。

一個(gè)推論，即y=f(x)在x0處連續(xù)等價(jià)于y=f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù)，也等價(jià)于y=f(x)在x0處的左、右極限都等于f(x0)。

這就包括了函數(shù)連續(xù)必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：

（1）函數(shù)在x0 處有定義；

（2）x-> x0時(shí)，limf(x)存在；

（3）x-> x0時(shí)，limf(x)=f(x0)。

初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。

（2）連續(xù)函數(shù)：函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)。

（3）連續(xù)性與可導(dǎo)性關(guān)系：連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，即函數(shù)可導(dǎo)必然連續(xù)；不連續(xù)必然不可 導(dǎo)；連續(xù)不一定可導(dǎo)。典型例子：含尖點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)

討論函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性

高等數(shù)學(xué) 怎樣討論狄利克雷函數(shù)的連續(xù)性？

該函數(shù)在有理數(shù)點(diǎn)不連續(xù)，無(wú)理數(shù)點(diǎn)連續(xù)。

證明思路：因?yàn)閷?shí)數(shù)域上有理數(shù)是可列的(有理數(shù)可表示為{N/M},N,M均為全體整數(shù))，古有理數(shù)點(diǎn)都是離散的點(diǎn)，故函數(shù)值為1的點(diǎn)（有理數(shù)點(diǎn)）均離散。根據(jù)實(shí)數(shù)的連續(xù)性，任意兩個(gè)相鄰的有理數(shù)間有無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)，這些無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為0，故在該函數(shù)無(wú)理數(shù)點(diǎn)連續(xù)。

（1）當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0，在R上是連續(xù)的；

（2）當(dāng)x不等于0時(shí)，

若x為有理數(shù)，則f(x)=x，若x是無(wú)理數(shù)，則f(x)=0，

從而由極限定義易得，f(x)在x處無(wú)極限，從而不連續(xù)。

擴(kuò)展資料：

狄利克雷函數(shù)是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)范圍上、值域不連續(xù)的函數(shù)。狄利克雷函數(shù)的圖像以Y軸為對(duì)稱(chēng)軸，是一個(gè)偶函數(shù)，它處處不連續(xù)，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個(gè)處處不連續(xù)的可測(cè)函數(shù)。

在單位區(qū)間[0,1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區(qū)間<a,b>以及R上甚至任何R的可測(cè)子集上（區(qū)間不論開(kāi)閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0 ）

對(duì)性質(zhì)5的說(shuō)明：雖然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可積條件（說(shuō)明中Q為有理數(shù)集）。

參考資料來(lái)源：百度百科-狄利克雷函數(shù)

怎么討論函數(shù)的連續(xù)性？

討論函數(shù)的連續(xù)性：

對(duì)于連續(xù)性，在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性。

在函數(shù)極限的定義中曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)，當(dāng)x→x0時(shí)f(x)有沒(méi)有極限，與f(x)在點(diǎn)x0處是否有定義并無(wú)關(guān)系。但由于函數(shù)在x0處連續(xù)，則表示f(x0)必定存在，顯然當(dāng)Δx=0（即x=x0）時(shí)Δy=0<ε。于是上述推導(dǎo)過(guò)程中可以取消0<|Δx|這個(gè)條件。

一致連續(xù)性：

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一致連續(xù)。所謂一致連續(xù)是指，對(duì)任意ε>0（無(wú)論其多么小），總存在正數(shù)δ，當(dāng)區(qū)間I上任意兩個(gè)數(shù)x1、x2滿(mǎn)足|x1-x2|<δ時(shí)，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就稱(chēng)f(x)在I上是一致連續(xù)的。

證明：利用有限覆蓋定理：如果H是閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，那么能從H中選擇有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋[a,b]。