為什么正交化 施密特正交變換法公式
如果線性無關(guān)的一組向量做為空間的基，空間上任意向量都可以由這組基唯一表示出，那為什么還要做正交化？將向量組正交化，為什么將向量組正交化什么時候要？線性代數(shù)中1.為什么要正交化，2.為什么要單位化.具體解釋下謝謝？為什么特征向量正交化并單位化后仍為原矩陣的特征向量？為什么會有矩陣的正交化和單位化？為什么實對稱要施密特正交化？
本文導航
怎樣證明向量組線性無關(guān)
因為正交基兩兩正交，且模長為1
那么任一個向量和正交基的每一個向量做內(nèi)積，即得坐標。這是好處。
再比如，每個向量的坐標的每個元素的平方和，即為其自己和自己的內(nèi)積。
讓所有內(nèi)積統(tǒng)一（同構(gòu)的意義下）成標準內(nèi)積的情形（即對應(yīng)分量的積的和）。
。。。。
好處實在太多。
為什么要把正交的向量單位化
在線性代數(shù)中,如果內(nèi)積空間上的一組向量能夠張成一個子空間,那么這一組向量就稱為這個子空間的一個基.Gram－Schmidt正交化提供了一種方法,能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基,并可進一步求出對應(yīng)的標準正交基.
這種正交化方法以J?rgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名,然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一方法.在李群分解中,這種方法被推廣為巖澤分解（Iwasawa decomposition）.
在數(shù)值計算中,Gram－Schmidt正交化是數(shù)值不穩(wěn)定的,計算中累積的舍入誤差會使最終結(jié)果的正交性變得很差.因此在實際應(yīng)用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉(zhuǎn)進行正交化
線性代數(shù)單位化的例題
張宇線代講得很清晰，用坐標系來理解更容易。拿三階來說就是三個維度為立體，二次型轉(zhuǎn)換相當于將原來的坐標整個以原點為定點轉(zhuǎn)一定角度。然后得到一個新的三維空間坐標系，為了保證坐標軸都垂直對應(yīng)線代里面的正交化，為了保證新坐標長度不變則要進行單位化。當維數(shù)高了就無法用空間理解，但依然可以根據(jù)三維來推導理解。謝謝采納
特征向量為什么必須單位化
1、因為特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量，特征向量是對應(yīng)齊次線性方程組的解，所以特征向量的非零線性組合仍是特征向量。正交化所得向量與原向量等價，所以仍是特征向量，由此可知單位化后也是特征向量。
2、特征向量定理：
譜定理在有限維的情況，將所有可對角化的矩陣作了分類：它顯示一個矩陣是可對角化的，當且僅當它是一個正規(guī)矩陣。注意這包括自共軛（厄爾米特）的情況。這很有用，因為對角化矩陣T的函數(shù)f(T)（譬如波萊爾函數(shù)f）的概念是清楚的。
在采用更一般的矩陣的函數(shù)的時候譜定理的作用就更明顯了。例如，若f是解析的，則它的形式冪級數(shù)，若用T取代x，可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對收斂。譜定理也允許方便地定義正算子的唯一的平方根。
擴展資料：
1、共軛特征向量：
一個共軛特征向量或者說共特征向量是一個在變換下成為其共軛乘以一個標量的向量，其中那個標量稱為該線性變換的共軛特征值或者說共特征值。共軛特征向量和共軛特征值代表了和常規(guī)特征向量和特征值相同的信息和含義，但只在使用交替坐標系統(tǒng)的時候出現(xiàn)。
例如，在相干電磁散射理論中，線性變換A代表散射物體施行的作用，而特征向量表示電磁波的極化狀態(tài)。在光學中，坐標系統(tǒng)按照波的觀點定義，稱為前向散射對齊 (FSA)，從而導致了常規(guī)的特征值方程，而在雷達中，坐標系統(tǒng)按照雷達的觀點定義，稱為后向散射對齊 (BSA)，從而給出了共軛特征值方程。
2、特征問題：
一個廣義特征值問題(第二種意義)有如下形式
其中A和B為矩陣。其廣義特征值(第二種意義)λ 可以通過求解如下方程得到
形如A ? λB的矩陣的集合，其中λ是一個復(fù)數(shù)，稱為一個“鉛筆”。 若B可逆，則最初的問題可以寫作標準的特征值問題。但是，在很多情況下施行逆操作是不可取的，而廣義特征值問題應(yīng)該如同其原始表述來求解。
如果A和B是實對稱矩陣，則特征值都為實數(shù)。這在上面的第二種等價表述中并不明顯，因為矩陣B ? 1A未必是對稱的。
參考資料來源：百度百科 - 特征向量
矩陣正交化的計算方法
為了使作用矩陣p成為“正交矩陣”（“正交矩陣”的列向量是單位化正交化
的）。這樣才可以使“合同”與“相似”統(tǒng)一起來。從而才可以用“特征方法”
解決實對稱矩陣“合同”于對角陣的問題。
（p^（-1）ap＝p′ap＝對角陣,一定要p^（-1）＝p′.
o.k
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施密特正交變換法公式
因為實對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交。而我們只需要把相同特征值對應(yīng)的幾個特征向量正交化即可。
而斯密特正交化還有一特點，不僅正交化，還單位化，即每個向量的模都是1。
最后我們得到一組相互正交，而且模都是1的向量組。這個向量組有個特點，任意一個向量與自己做內(nèi)積，結(jié)果都等于1，而其它向量的內(nèi)積都等于0。于是這樣的向量組構(gòu)成的矩陣，轉(zhuǎn)置即為它的逆。即變換矩陣P的逆，只要轉(zhuǎn)置一下即可得到。
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