什么樣的函數(shù)不可積 不可積分的函數(shù)一般有哪些

函數(shù)不可積是什么情況？什么樣的函數(shù)不可積，函數(shù)可積不可積需要怎么驗(yàn)證？有什么函數(shù)是不可積的？哪些常見(jiàn)的初等函數(shù)是不可積的，如何判斷一個(gè)函數(shù)不可積，方便求積分的一些方法？哪些函數(shù)不可積。

本文導(dǎo)航

• 函數(shù)絕對(duì)可積的條件
• 常見(jiàn)的不可積分函數(shù)
• 不可積函數(shù)怎么求積分
• 什么不算基本初等函數(shù)
• 不可積分的函數(shù)一般有哪些
• 函數(shù)不可積分的條件

函數(shù)絕對(duì)可積的條件

樓上的例子是正確的, 但理論依據(jù)是錯(cuò)誤的.

數(shù)學(xué)分析里面指出, 如果在定義域內(nèi)有有限的不連續(xù)點(diǎn), 則函數(shù)可被黎曼積分.

但如果不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮的, 則函數(shù)不能被黎曼積分.

設(shè)f(x) = 1若x為有理數(shù)且f(x)=0若x為無(wú)理數(shù), 則f(x)在[0,1]上黎曼不可積 (其他積分方法仍然可能成立)

分析: 因?yàn)橛欣頂?shù)和無(wú)理數(shù)在[0,1]內(nèi)都是稠密的, 所以無(wú)論如何對(duì)[0,1]進(jìn)行分割, 在每段小區(qū)間內(nèi)總有有理數(shù)和無(wú)理數(shù), 所以函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的最小值是0, 最大值是1, 所以求和上限的極限是1, 求和下限的極限是0, 兩者不收斂于同一個(gè)值, 所以黎曼不可積.

常見(jiàn)的不可積分函數(shù)

正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)是不可積的，雖然它的原函數(shù)(即不定積分)存在，但不能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)。

習(xí)慣上，如果一個(gè)已給的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)，就說(shuō)這函數(shù)是“積得出的函數(shù)”，否則就說(shuō)它是“積不出”的函數(shù)。比如下面列出的幾個(gè)積分都是屬于“積不出”的函數(shù)，但是這些積分在概率論，數(shù)論，光學(xué)，傅里葉分析等領(lǐng)域起著重要作用。

（1）∫e^(-x2)dx；（2）∫(sinx)/xdx；

（3）∫1/(lnx)dx；（3）∫sinx2dx；

（5）∫根號(hào)(a2sin2x+b2cos2x)dx(a2≠b2)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)：Φ(x)=[1/根號(hào)(2π)]∫(-∞,x)e^(-x2/2)dx

這個(gè)函數(shù)是不可積的，但是它的原函數(shù)是存在的，只是不能用初等函數(shù)表示而已。 習(xí)慣上，如果一個(gè)已給的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)，就說(shuō)這函數(shù)是“積得出的函數(shù)”，否則就說(shuō)它是“積不出”的函數(shù)。比如下面列出的幾個(gè)積分都是屬于“積不出”的函數(shù) ∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx ∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b) -------------------------------------- 以下是從別人那粘貼過(guò)來(lái)的..原函數(shù)我也不知道,不過(guò)希望下面的對(duì)你有幫助 ___________________________________ 下面證明∫sint/tdt=π/2(積分上限為∞，下限為0） 因?yàn)閟int/t不存在初等函數(shù)的原函數(shù)，所以下面引入一個(gè)“收斂因子”e^(-xt)(x>=0),轉(zhuǎn)而討論含參量的積分。 I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (積分上限為∞，下限為0） 顯然： I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞，下限為0） I`(x)=∫?（e^(-xt)sint/t)/?x dt (積分上限為∞，下限為0） =∫e^(-xt)sin(t)sint(積分上限為∞，下限為0） =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限為∞，下限為0） =-1/(1+x^2) 從而有 I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1) |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt| ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt ≤∫e^(-xt)dt =-(1/x)*e^(-xt)|(對(duì)t的積分原函數(shù)，上限為∞，下限為0） =1/x －－>0 (x－－>+∞) 即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞) 對(duì)（1）式兩端取極限： lim(I(x))(x－－>+∞) =-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)

=-π/2+C 即有0=-π/2+C，可得C=π/2 于是（1）式為 I(x）=-arctan(x)+π/2 limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0) I(0)=π/2 所以有 I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞，下限為0）=π/2 因?yàn)閟inx/x是偶函數(shù)，所以 ∫sint/tdt(積分上限為∞，下限為-∞） =π 。 ...

不可積函數(shù)怎么求積分

超越積分

超越積分(通常也稱為不可積),也就是說(shuō)這個(gè)積分的原函數(shù)不能用我們所學(xué)的任何一種函數(shù)來(lái)表示.但如果引入新的函數(shù)erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么該函數(shù)的積分就可表示為erf(x)+c.

道理很簡(jiǎn)單,比如∫x^ndx,一般的該積分為1/(n+1)x^(n+1),如果不引入lnx,那么∫1/xdx就不可積了.因此對(duì)于一些積分,如果不引入新的函數(shù),那么那些積分就有可能不可積,而且這種情況還會(huì)經(jīng)常遇到.因此對(duì)于一些常見(jiàn)的超越積分,一般都定義了相關(guān)的新函數(shù).

下面就介紹幾個(gè)常見(jiàn)的超越積分(不可積積分)

1.∫e^(ax^2)dx(a≠0)

2.∫(sinx)/xdx

3.∫(cosx)/xdx

4.∫sin(x^2)dx

5.∫cos(x^2)dx

6.∫x^n/lnxdx(n≠-1)

7.∫lnx/(x+a)dx(a≠0)

8.∫(sinx)^zdx(z不是整數(shù))

9.∫dx/√(x^4+a)(a≠0)

10.∫√(1+k(sinx)^2)dx(k≠0,k≠-1)

11.∫dx/√(1+k(sinx)^2)(k≠0,k≠-1)

以后凡是看到以上形式的積分,我勸你不要繼續(xù)嘗試,因?yàn)橐陨戏e分都已經(jīng)被證明了為不可積積分.但是要注意的是,雖然以上積分的原函數(shù)不是初等函數(shù),但并不意味著他們的定積分不可求,對(duì)于某些特殊點(diǎn)位置的定積分還是有可能算出來(lái)的,只不過(guò)不能用牛頓-萊布尼茨公式罷了!

比如∫[0,+∞)e^(-x^2)dx=√π/2,此處的積分值就是用二重積分和極限夾逼的方法得出的,而且只能算出(-∞,+∞)或是(0,+∞)上的值,其他的值只能用數(shù)值方法算出近似值.

再如∫[0,+∞)(sinx)/xdx=π/2,此處就是用留數(shù)理論得出的

什么不算基本初等函數(shù)

初等函數(shù)都是可積的，初等函數(shù)的組合也是可積的，但是可積不等于積得出來(lái)

不可積分的函數(shù)一般有哪些

你可以翻翻書，看看這一段的篇幅　　這兩個(gè)問(wèn)題都太大了。

　　1）判斷一個(gè)函數(shù)不可積需要用定積分的定義、可積的充要條件或可積的必要條件，除了最后一種（利用可積的必要條件判斷一個(gè)函數(shù)不可積）外都不是很容易的。

　　2）求積分的所有有效的方法教材上都一一討論過(guò)

函數(shù)不可積分的條件

正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)是不可積的，雖然它的原函數(shù)(即不定積分)存在，但不能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)。

從數(shù)學(xué)分析老說(shuō)，有界函數(shù)都可積，無(wú)界函數(shù)可能可積，可能不可積。 注意一個(gè)問(wèn)題，原函數(shù)無(wú)法寫出和不可積不是一個(gè)概念。