高斯定理的積分怎么算 構(gòu)造如下形式的高斯求積公式

曲面積分計算問題（高斯定理的利用，在高斯定理中下面這個公式是如何計算出來的？利用高斯定理計算曲面積分，高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分??？構(gòu)造如下形式的高斯求積公式。

本文導(dǎo)航

• 曲面積分計算問題（高斯定理的利用）
• 在高斯定理中下面這個公式是如何計算出來的
• 利用高斯定理計算曲面積分
• 高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分啊？
• 構(gòu)造如下形式的高斯求積公式

曲面積分計算問題（高斯定理的利用）

高斯公式要求封閉的曲面，所以在下面補了一個面，然后再減去，最后用柱面坐標積分，我是這么想的~~~

I=+∫ ∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv- ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx-3dxdy

=∫【0，2π】d0∫【0，1】dr∫[0，(1-r^2)](6r^2+6z)dz-∫∫3dxdy

=24π/5-6π=-6π/5

而∑表示的是一個拋物面，在dxdy上的投影是一個圓形面積為2π

在高斯定理中下面這個公式是如何計算出來的

4π*r平方 是 球面（高斯面）的面積。因為在高斯面上，電場強度E大小相同，方向都垂直于高斯面，所以，∫Eds=E∫ds=E*4π*r 平方

4π*r平方，因為在高斯面上，電場強度E大小相同，方向都垂直于高斯面，所以，∫Eds=E∫ds=E*4π*r

利用高斯定理計算曲面積分

取z=0下側(cè)為∑1

z=3上側(cè)為∑2

那么∫∫∑1 xdydz+ydzdx+zdxdy=0

∫∫∑2 xdydz+ydzdx+zdxdy=3∫∫dxdy=3(9π)=27π

且根據(jù)高斯公式

∫∫∑+∑1+∑2 xdydz+ydzdx+zdxdy

=3∫∫∫dV=3(3x9π)=81π

所以

原積分=81π-0-27π=54π

高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分?。?/h3>

好比高斯定理的積分形式，就是一個面積分到體積分，然后根據(jù)散度的定義：（簡單描述就是）矢量場f對封閉曲面ds的通量與封閉曲面所包圍的▽V（趨近于0時)的比的極限就被稱為矢量場f的散度。拿電場來說，也就是電場強度E對ds的通量等于電場強度E的散度對體積的積分。數(shù)學(xué)表達式：通量＝∫EdS＝∫（▽·E)dV（前面是封閉曲面積分，后面是曲面包圍的體積分)。

構(gòu)造如下形式的高斯求積公式

高斯求積公式是變步長數(shù)值積分的一種，基本形式是計算［-1，1］上的定積分。

假設(shè)現(xiàn)在要求f（x）在［-1，1］上的積分值，只允許計算一次f（x）的值，會選取一點x0，計算出f（x0），用A=f（x0）*2作為近似值?，F(xiàn)在問題是怎樣選取x0，使得結(jié)果盡可能精確，直覺告訴我們選取區(qū)間中點最合適，這也就是所謂的中點公式，也就是1點高斯求積公式。

含義

由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內(nèi)部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。這個規(guī)律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。

以上內(nèi)容參考：百度百科-高斯公式