怎么判斷極限是否連續(xù)的 怎么判斷一個(gè)函數(shù)是否連續(xù)

怎么判斷一個(gè)函數(shù)是否連續(xù)？如何判斷一個(gè)函數(shù)是否存在極限，是否連續(xù)，是否可導(dǎo)，是否可微？關(guān)于高數(shù)極限的問題 怎么看函數(shù)是連續(xù)的？

本文導(dǎo)航

• 怎么判斷一個(gè)函數(shù)是否連續(xù)
• 如何判斷一個(gè)函數(shù)是否存在極限，是否連續(xù)，是否可導(dǎo)，是否可微？
• 關(guān)于高數(shù)極限的問題 怎么看函數(shù)是連續(xù)的

怎么判斷一個(gè)函數(shù)是否連續(xù)

沒有什么別的辦法，就是根據(jù)連續(xù)的定義。

如果只需判斷（不需要證明）的話比較簡單，因?yàn)榍叭擞薪Y(jié)論，可以拿來直接用： 初等函數(shù)（或它們的組合）在其定義域上都是連續(xù)函數(shù)

如何判斷一個(gè)函數(shù)是否存在極限，是否連續(xù)，是否可導(dǎo)，是否可微？

極限的概念是整個(gè)微積分的基礎(chǔ)，需要深刻地理解，由極限的概念才能引出連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念。極限的概念首先是從數(shù)列的極限引出的。對(duì)于任意小的正數(shù)E，如果存在自然數(shù)M，使所有N》M時(shí)，|A（N）-A|都小于E，則數(shù)列的極限為A。極限不是相等，而是無限接近。而函數(shù)的極限是指在X0的一個(gè)臨域內(nèi)（不包含X0這一點(diǎn)），如果對(duì)于任意小的正數(shù)E，都存在正數(shù)Q，使所有（X0-Q，X0+Q）內(nèi)的點(diǎn)，都滿足|F（X）-A|《E，則F（X）在X0點(diǎn)的極限為A。很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。

　　例如F（X）=（X^2-3X+2）/(X-2), X=2不在函數(shù)定義域內(nèi)，但對(duì)于任何X不等于2，F(xiàn)（X）=X-1，因此在X無限接近2，但不等于2時(shí)，F(xiàn)（X）無限接近1，因此F（X）在2處的極限為1。

　　連續(xù)的概念。如果函數(shù)在X0的極限存在，函數(shù)在X0有定義，而且極限值等于函數(shù)值，則稱F（X）在X0點(diǎn)連續(xù)。以上的三個(gè)條件缺一不可。

　　在上例中，F(xiàn)（X）在X=2時(shí)極限存在，但在X=2這一點(diǎn)沒有定義，所以函數(shù)在X=2不連續(xù)；

　　如果我們定義F（2）=1，補(bǔ)上“缺口”，則函數(shù)在X=2變成連續(xù)的；

　　如果我們定義F（2）=3，雖然函數(shù)在X=2時(shí)，極限值和函數(shù)值都存在，但不相等，那么函數(shù)在X=2還是不連續(xù)。

　　由連續(xù)又引出了左極限、右極限和左連續(xù)、右連續(xù)的概念。函數(shù)值等于左極限為左連續(xù)，函數(shù)值等于右極限為右連續(xù)。如果函數(shù)在X0點(diǎn)左右極限都存在，且都等于函數(shù)值，則函數(shù)在X=X0時(shí)連續(xù)。這個(gè)定義是解決分段函數(shù)連續(xù)問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。

　　如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右連續(xù)（對(duì)閉區(qū)間而言），則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上連續(xù)。

　　導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率，直觀地看是指切線的斜率。略有不同的是，切線可以平行于Y軸，此時(shí)斜率為無窮大，因此導(dǎo)數(shù)不存在，但切線存在。

　　導(dǎo)數(shù)的求法也是一個(gè)極限的求法。對(duì)于X=X0，在X0附近另找一點(diǎn)X1，求X0與X1連線的斜率。當(dāng)X1無限靠近X0，但不與X0重合時(shí)，這兩點(diǎn)連線的斜率，就是F（X）在X=X0處的導(dǎo)數(shù)。關(guān)于導(dǎo)數(shù)的題目多數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的定義直接解決。教科書中給出了所有基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，如果自己能用導(dǎo)數(shù)的定義都推導(dǎo)一遍，理解和記憶會(huì)更深刻。其中對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)中用到了重要極限：limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。

　　導(dǎo)數(shù)同樣分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)存在的條件是：F（X）在X=X0連續(xù)，左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。這個(gè)定義是解決分段函數(shù)可導(dǎo)問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。

　　如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右導(dǎo)數(shù)存在（對(duì)閉區(qū)間而言），則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)。

　　復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如f[u（x）]，是集合A中的自變量x，產(chǎn)生微小變化dx，引起集合B中對(duì)應(yīng)數(shù)u的微小變化du，u的變化又引起集合C中的對(duì)應(yīng)數(shù)f(u)的變化，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f’[u（x）]=df（u）/dx=df（u）/du * du/dx=f’（u）*u‘（x）

　　導(dǎo)數(shù)在生活中的例子最常見的是距離與時(shí)間的關(guān)系。物體在極其微小的時(shí)間內(nèi)，移動(dòng)了極其微小的距離，二者的比值就是物體在這一刻的速度。對(duì)于自由落體運(yùn)動(dòng)，下落距離S=1/2gt^2，則物體在時(shí)間t0的速度為V(t0)=[S（t0+a）-S(t0)]/a, 當(dāng)a趨近于0時(shí)的值，等于gt0; 而速度隨時(shí)間的增加而增加，變化的比率g稱為加速度。加速度是距離對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

　　從直觀上看，可導(dǎo)意味著光滑的、沒有尖角，因?yàn)樵诩饨翘幾笥覍?dǎo)數(shù)不相等。有笑話說一位教授對(duì)學(xué)生抱怨道：“這飯館讓人怎么吃飯？你看這碗口，處處不可導(dǎo)！”

　　積分的概念。從面積上理解，積分就是積少成多，把無限個(gè)面積趨近于0的線條，累積在一起，就成為大于0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長的長方形（長方形的高度都取函數(shù)在左端或右端的函數(shù)值），分別計(jì)算各個(gè)長方形的面積再加總，可近似地得出圖形的面積。當(dāng)我們把長方形的寬度設(shè)定得越來越窄，計(jì)算結(jié)果就越來越精確，與圖形實(shí)際面積的差距越來越小。如果函數(shù)的積分存在，則長方形寬度趨近于0時(shí)，求出的長方形面積總和的極限存在，且等于圖形的實(shí)際面積。這里又是一個(gè)極限的概念。

　　如果函數(shù)存在不連續(xù)的點(diǎn)，但在該點(diǎn)左右極限都存在，函數(shù)仍是可積的。只要間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，則它們代表的線條面積總和為0，不影響計(jì)算結(jié)果。

　　在廣義積分中，允許函數(shù)在無限區(qū)間內(nèi)積分，或某些點(diǎn)的函數(shù)值趨向無窮大，只要積分的極限存在，函數(shù)都是可積的。

　　嚴(yán)格地說，我們只會(huì)計(jì)算長方形的面積。從我們介紹的積分的求法看，我們實(shí)際上是把求面積化為了數(shù)列求和的問題，即求數(shù)列的前N項(xiàng)和S（N），在N趨近于無窮大時(shí)的極限。很多時(shí)候，求積分和求無限數(shù)列的和是可以相互轉(zhuǎn)換的。當(dāng)我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后，我們同樣可用它來解決相當(dāng)棘手的數(shù)列求和問題。

　　例如：求LIM Nａ正無窮大時(shí)，1/N*[1+1/（1+1/N）+1/（1+2/N）+。。。+1/(1+（N-1）/N)+1/2]的值。

　　看似無從下手，可當(dāng)我們把它轉(zhuǎn)化為一連串的小長方形的面積之后，不禁會(huì)恍然大悟：這不是F（X）=1/X在[1，2]上的積分嗎？從而輕松得出結(jié)果為ln2。

　　除了基本的積分公式外，換元法和分步法是常用的積分方法。換元積分法的實(shí)質(zhì)是把原函數(shù)化為形式簡單的復(fù)合函數(shù)；分步積分法的要領(lǐng)是：在∫udv=uv-∫vdu中，函數(shù)u微分后應(yīng)該變簡單（比如次數(shù)降低），而函數(shù)v積分后不會(huì)變得更復(fù)雜。

關(guān)于高數(shù)極限的問題 怎么看函數(shù)是連續(xù)的

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。