滿秩對(duì)稱矩陣怎么求 求矩陣的秩的三種方法

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本文導(dǎo)航

• 實(shí)對(duì)稱矩陣是否滿秩？為什么
• 請(qǐng)問這個(gè)對(duì)稱矩陣怎么算的，求過程
• 線性代數(shù)怎么求對(duì)稱矩陣
• 矩陣滿秩 怎樣證明該矩陣的轉(zhuǎn)置與該矩陣相乘所得矩陣為對(duì)稱正定矩陣且滿秩
• 求矩陣的秩的三種方法
• 一個(gè)對(duì)稱矩陣的逆矩陣怎么求方便？比如4階的從上到下 {1,1,1,1} {1,1,-1,-1} {1,-1,1,-1} {1,-1,-1,1}的逆

實(shí)對(duì)稱矩陣是否滿秩？為什么

不一定滿秩，實(shí)對(duì)稱矩陣A幣可以對(duì)角化則

P^(-1)AP=Λ

r（A）=r（Λ）

若Λ的特征值有0，則，A與Λ都不滿秩

所以得證

請(qǐng)問這個(gè)對(duì)稱矩陣怎么算的，求過程

這種你要學(xué)會(huì)找規(guī)律 你把第二行加到第三行 你會(huì)發(fā)現(xiàn) 第三行的第一列為0了 第二列和第三列一樣 然后就可以提取出來23列變?yōu)? 然后再調(diào)換23行的位置 再化簡下第三行 就變成最簡形了

線性代數(shù)怎么求對(duì)稱矩陣

元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等的矩陣

1.對(duì)于任何方形矩陣X，X+X^T是對(duì)稱矩陣。

2.A為方形矩陣是A為對(duì)稱矩陣的必要條件。

3.對(duì)角矩陣都是對(duì)稱矩陣。

矩陣滿秩 怎樣證明該矩陣的轉(zhuǎn)置與該矩陣相乘所得矩陣為對(duì)稱正定矩陣且滿秩

(A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA

所以 A^TA 為對(duì)稱矩陣.

滿秩矩陣的乘積 仍滿秩,故 A^TA滿秩

對(duì)任一非零向量x,由于A滿秩,Ax≠0

所以 (Ax)^T(Ax) > 0

即 x^T(A^TA)x > 0

所以 A^TA 正定.

求矩陣的秩的三種方法

求矩陣的秩的幾種方法：

1、通過對(duì)矩陣做初等變換（包括行變換以及列變換）化簡為梯形矩陣求秩。此類求解一般適用于矩陣階數(shù)不是很大的情況，可以精確確定矩陣的秩，而且求解快速比較容易掌握。

2、通過矩陣的行列式，由于行列式的概念僅僅適用于方陣的概念。通過行列式是否為0則可以大致判斷出矩陣是否是滿秩。

3、對(duì)矩陣做分塊處理，如果矩陣階數(shù)較大時(shí)將矩陣分塊通過分塊矩陣的性質(zhì)來研究原矩陣的秩也是重要的研究方法。此類情況一般也是可以確定原矩陣秩的。

4、對(duì)矩陣分解，此處區(qū)別與上面對(duì)矩陣分塊。例如n階方陣A，R分解（Q為正交陣,R為上三角陣）以及Jordan分解等。通過對(duì)矩陣分解，將矩陣化繁為簡來求矩陣的秩也會(huì)有應(yīng)用。

5、對(duì)矩陣整體做初等變換(行變換為左乘初等矩陣，列變換為右乘初等矩陣)。此類情況多在證明秩的不等式過程有應(yīng)用，技巧很高與前面提到的分塊矩陣聯(lián)系密切。

擴(kuò)展資料：

矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)概念。在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)。通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。

在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。通俗一點(diǎn)說，如果把矩陣看成一個(gè)個(gè)行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)。

參考資料：百度百科-矩陣的秩

一個(gè)對(duì)稱矩陣的逆矩陣怎么求方便？比如4階的從上到下 {1,1,1,1} {1,1,-1,-1} {1,-1,1,-1} {1,-1,-1,1}的逆

用 (A , E) 做初等行變換 變到 (E , B)的形式，這時(shí)候B的值正好是A逆。

構(gòu)造矩陣 (A,E) =

1 1 1 1 1 0 0 0

1 1 -1 -1 0 1 0 0

1 -1 1 -1 0 0 1 0

1 -1 -1 1 0 0 0 1

r2-r1, r3-r1, r4-r1

1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 -2 -2 -1 1 0 0

0 -2 0 -2 -1 0 1 0

0 -2 -2 0 -1 0 0 1

r2*(-1/2),r2*(-1/2),r2*(-1/2),

1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0

0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0

0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r1-r4,r2-r4,r3-r4

1 1 1 0 3/4 1/4 1/4 -1/4

0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4

0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4

0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r1-r2-r3

1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4

0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4

0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4

0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4

定理

（1）逆矩陣的唯一性。

若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，并記作A的逆矩陣為A-1。

（2）n階方陣A可逆的充分必要條件是r(A)=m。

對(duì)n階方陣A,若r(A)=n,則稱A為滿秩矩陣或非奇異矩陣。

（3）任何一個(gè)滿秩矩陣都能通過有限次初等行變換化為單位矩陣。

推論 滿秩矩陣A的逆矩陣A可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。