為什么矩陣作積之后秩變小 矩陣的秩的八大性質(zhì)

為什么2個(gè)矩陣相乘后的秩會(huì)變??？？？為什么2個(gè)矩陣相乘后的秩會(huì)變??？兩個(gè)矩陣乘積的秩為何能小于兩個(gè)中小的那個(gè)？矩陣乘積的秩不大于各矩陣的秩 解釋，如何證明兩矩陣乘積的秩小于等于每個(gè)矩陣的秩？矩陣乘積的秩是什么？

本文導(dǎo)航

• 兩個(gè)矩陣相加秩怎么變化
• 矩陣相乘時(shí)能有兩個(gè)結(jié)果嗎
• 如何證明兩個(gè)矩陣的和的秩
• 矩陣的秩的八大性質(zhì)
• 兩個(gè)矩陣相乘秩等于多少
• 矩陣的秩如何計(jì)算

兩個(gè)矩陣相加秩怎么變化

這是因?yàn)槌朔e的矩陣的行或列向量組

可以由原矩陣的行或列向量組線性表示

矩陣相乘時(shí)能有兩個(gè)結(jié)果嗎

這個(gè)說法不準(zhǔn)確，因?yàn)?個(gè)n階可逆矩陣相乘后，秩不變，仍是n

如何證明兩個(gè)矩陣的和的秩

設(shè)AB=C，將矩陣B分塊為B=(b1,b2,...,bs) ，C分塊為C=（c1,c2,...,cs）

則AB=(Ab1,Ab2,...,Abs) = （c1,c2,...,cs）

即 Abi=ci 其中i=1,2，.......，s

可知矩陣C的第i個(gè)列向量均是由矩陣A的所有列向量線性組合而成，而組合系數(shù)即為矩陣B的第i列的各分量。

既然C可以有矩陣A線性表示，即r（C）<=r(A)。

同理對(duì)B進(jìn)行行分塊也可證明。

擴(kuò)展資料：

用向量組的秩定義

向量組的秩：在一個(gè)m維線性空間E中，一個(gè)向量組的秩表示的是其生成的子空間的維度?？紤]m×;n矩陣，將A的秩定義為向量組F的秩。

則可以看到如此定義的A的秩就是矩陣A的線性無關(guān)縱列的極大數(shù)目，即;A的列空間的維度。因?yàn)榱兄群托兄仁窍嗟鹊?，我們也可以定義;A的秩為;A的行空間的維度。

用線性映射定義

考慮線性映射：對(duì)于每個(gè)矩陣A，fA都是一個(gè)線性映射，同時(shí)，對(duì)每個(gè)的 線性映射f，都存在矩陣A使得;f=;fA。也就是說，映射是一個(gè)同構(gòu)映射。所以一個(gè)矩陣;A的秩還可定義為fA的像的維度（像與核的討論參見線性映射）。

矩陣;A稱為;fA的變換矩陣。這個(gè)定義的好處是適用于任何線性映射而不需要指定矩陣，因?yàn)槊總€(gè)線性映射有且僅有一個(gè)矩陣與其對(duì)應(yīng)。秩還可以定義為;n減;f的核的維度；秩-零化度定理聲稱它等于;f的像的維度。

參考資料：百度百科--秩

矩陣的秩的八大性質(zhì)

兩個(gè)矩陣相乘可能使某一行或者某一列為零，從而是秩減小，但是原來是零的一行或者一列乘過以后還是零，所以秩不可能增大，只會(huì)不變或者減小。

證：由于K是滿秩方陣，因此可逆，存在K逆，等式兩邊同時(shí)左乘K逆，得

K逆( )=( )，第一個(gè)括號(hào)里是beta那個(gè)向量組，第二個(gè)括號(hào)里是alpha那個(gè)向量組

這樣就說明alpha那個(gè)向量組可由beta那個(gè)向量組線性表示，因此兩向量組可以互相線性表示，所以兩向量組等價(jià)，由于等價(jià)向量組秩相同，因此beta那個(gè)向量組的秩也是s，因此beta向量組線性無關(guān)。

擴(kuò)展資料：

在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。即如果把矩陣看成一個(gè)個(gè)行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)。

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：如果A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};

參考資料來源：百度百科-矩陣的秩

兩個(gè)矩陣相乘秩等于多少

求采納

矩陣的秩如何計(jì)算

矩陣乘積的秩相乘之后變小或者不變。

矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)概念。在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)。通常表示為r(A)，rk(A)或rankA。

類似地，行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。通俗一點(diǎn)說，如果把矩陣看成一個(gè)個(gè)行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)。

相關(guān)定義：

方陣(行數(shù)、列數(shù)相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A)，rk(A)或rank（A）m×n矩陣的秩最大為m和n中的較小者，表示為 min(m,n)，有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩，類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為“欠秩”）的。

設(shè)A是一組向量，定義A的極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)為A的秩。