什么時候用等價無窮小 求極限時常用的公式

在計算極限的時候，什么情況下可以用等價無窮小替換？能說明原因嗎？請問什么時候可以用等價無窮小替換？求極限時什么時候適合用等價無窮?。渴裁磿r候可以用等價無窮?。恐挥惺且蜃拥臅r候可以等價么？請問什么時候能用等價無窮小，例如下圖所示？等價無窮小什么時候用什么時候不能用？

本文導(dǎo)航

• 等價無窮小替換求極限的例題
• 等價無窮小能直接替換的條件
• 求極限時常用的公式
• 什么情況下可以用等價無窮小替代
• 等價無窮小怎么判斷
• 等價無窮小要上下都換嗎

等價無窮小替換求極限的例題

等價無窮小一般只能在乘除中替換，在加減中替換有時會出錯（加減時可以整體代換，不一定能隨意單獨(dú)代換或分別代換）。

求極限時，使用等價無窮小的條件：

1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

獨(dú)立的乘積的因子若是無窮小，可以用等價的無窮小替換。例如lim(x→0) sinx*tanx/x^2，這里的sinx，tanx都可以替換，如果是lim(x→0) (sinx-tanx)/x^3，分子的sinx，tanx都不能替換，可以化成lim(x→0) tanx(cosx-1)/x^3后，替換sinx與1-cosx。

擴(kuò)展資料：

當(dāng)x→0時，等價無窮?。?/p>

（1）sinx~x

（2）tanx~x

（3）arcsinx~x

（4）arctanx~x

（5）1-cosx~1/2x^2

（6）a^x-1~xlna

（7）e^x-1~x

（8）ln(1+x)~x

（9）(1+Bx)^a-1~aBx

（10）[(1+x)^1/n]-1~1/nx

（11）loga(1+x)~x/lna

參考資料來源：百度百科-等價無窮小

等價無窮小能直接替換的條件

做為因數(shù)的時候能代換，或者如果替換的無窮小去掉之后，函數(shù)的極限依然存在的時候，就可以替換。

求極限時常用的公式

求極限時，使用等價無窮小的條件; ;：

1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

擴(kuò)展資料：;

利用極限四則運(yùn)算法則求極限

函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)有函數(shù)，若在自變量f（x），g（x）的同一變化過程中，有l(wèi)imf（x）=A，limg（x）=B，則

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）?g（x）］=limf（x）?limg（x）=A?B

lim==（B≠0）

（類似的有數(shù)列極限四則運(yùn)算法則）現(xiàn)以討論函數(shù)為例。對于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，自然會想到極限四則運(yùn)算法則，但使用這些法則，往往要根據(jù)具體的函數(shù)特點，先對函數(shù)做某些恒等變形或化簡，再使用極限的四則運(yùn)算法則。

參考資料來源：百度百科-等價無窮小

什么情況下可以用等價無窮小替代

等價無窮小是指x趨于0（無窮?。r兩個式子的變化快慢一致，即兩個式子在x趨于0時相除得1.這時就叫等價無窮小。用等價無窮小的條件是“加減有條件，乘除無條件”

等價無窮小怎么判斷

在只有乘除的極限中可以應(yīng)用等價無窮小(大)

在有加減的極限中慎用等價無窮小(大)

在有加減的極限中用等價無窮小(大)，如果這個無窮小(大)會被抵消，一般都可能出錯，那就要考慮高階的，所謂高階，就是麥克勞林展式多取幾項，究竟幾項視情況而定

在有加減的極限中用等價無窮小(大)，如果這個無窮小(大)不會被抵消，那么可能不出錯，會與答案巧合，比如：(tanx-2sinx)/ln(1+x)~(x-2x)/x=-1

等價無窮小要上下都換嗎

相關(guān)條件如下：

1、被代換的量，在取極限的時候極限值不為0。

2、被代換的量作為加減的元素時就不可以使用，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換。

等價無窮小是無窮小之間的一種關(guān)系，指的是：在同一自變量的趨向過程中，若兩個無窮小之比的極限為1，則稱這兩個無窮小是等價的。無窮小等價關(guān)系刻畫的是兩個無窮小趨向于零的速度是相等的。

等價無窮小相關(guān)延伸：極限

數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)概念。它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的數(shù)值(極限值)。極限方法是數(shù)學(xué)分析用以研究函數(shù)的基本方法，分析的各種基本概念(連續(xù)、微分、積分和級數(shù))都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上，然后才有分析的全部理論、計算和應(yīng)用。

所以極限概念的精確定義是十分必要的，它是涉及分析的理論和計算是否可靠的根本問題。歷史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先較為明確地給出了極限的一般定義。他說，“當(dāng)為同一個變量所有的一系列值無限趨近于某個定值，并且最終與它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，這個定值就稱為這個變量的極限。

其后，外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照這個思想給出嚴(yán)格定量的極限定義，這就是數(shù)學(xué)分析中使用的ε-δ定義或ε-Ν定義等。從此，各種極限問題才有了切實可行的判別準(zhǔn)則。在分析學(xué)的其他學(xué)科中，極限的概念也有同樣的重要性，在泛函分析和點集拓?fù)涞葘W(xué)科中還有一些推廣。