什么叫零度根軌跡 根軌跡如何判斷穩(wěn)定性

自動(dòng)控制中的零度根軌跡和180度根軌跡，怎么理解根軌跡的模值條件,相角條件？零度根軌跡和一般根軌跡得區(qū)別是什么？怎么判斷是零度根軌跡？零度根軌跡穩(wěn)定條件，根軌跡圖是開(kāi)環(huán)還是閉環(huán)。

本文導(dǎo)航

• 根軌跡圖判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定
• 根軌跡方程和特征方程的區(qū)別
• 根軌跡的出射角和入射角怎么算
• 根軌跡如何判斷穩(wěn)定性
• 根軌跡開(kāi)環(huán)增益公式
• 根軌跡圖上哪里是穩(wěn)定的

根軌跡圖判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定

常規(guī)根軌跡和零度根軌跡都是由閉環(huán)特征方程得到的.

對(duì)于最小相位系統(tǒng),如果是負(fù)反饋的情況,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為GH,則閉環(huán)傳遞函數(shù)為G/(1+GH)

因此閉環(huán)特征方程為1+GH=0,即GH=-1.GH是關(guān)于s的函數(shù),換句話說(shuō)這個(gè)方程是一個(gè)復(fù)變的方程

其相角條件是fai(GH)=180°.

而對(duì)于正反饋的情況,閉環(huán)特征方程成為1-GH=0,此時(shí)為GH=1,相角條件為fai(GH)=0°,因此稱(chēng)為零度根軌跡.

180度還是0度,關(guān)鍵就在于相角條件.

另一方面,當(dāng)系統(tǒng)中含有非最小相位環(huán)節(jié),比如僅含有一個(gè)比例環(huán)節(jié)-K時(shí),首先把它變成我們習(xí)慣的方式,即K來(lái)標(biāo)注零極點(diǎn)(這種情況下是一樣的),但是事實(shí)上已經(jīng)改變了根軌跡的相角條件,因此此時(shí)畫(huà)出的是零度根軌跡.

再舉一例,比如系統(tǒng)僅含有一個(gè)非最小相位環(huán)節(jié)(-s+1),則可以提出-1變?yōu)?1(s-1),這時(shí)侯后部分仍然是我們熟悉的零極點(diǎn)(只不過(guò)是不穩(wěn)定的零極點(diǎn),但是處理方法完全相同).但是-1這個(gè)因子改變了相角條件,所以此時(shí)畫(huà)出的也是零度根軌跡.

總而言之,如果系統(tǒng)含有非最小相位環(huán)節(jié)(s最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù))或反饋為正反饋時(shí),需要考慮是否畫(huà)零度根軌跡.具體只需將閉環(huán)方程寫(xiě)成我們熟悉的零-極點(diǎn)形式,再觀察等式另一邊到底是1還是-1即可.

從根軌跡的繪制方法來(lái)講,涉及相角的法則都需要進(jìn)行變更(包括實(shí)軸根軌跡、出射入射角,分離角我不太清楚,但是一般兩條分離的90°應(yīng)該不會(huì)有什么問(wèn)題)

希望能夠幫到樓主

根軌跡方程和特征方程的區(qū)別

樓主你好,根軌跡是在復(fù)平面內(nèi)討論的,因此所謂"模值條件"、"相角條件",實(shí)際上是如何判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的問(wèn)題.

如果兩個(gè)復(fù)數(shù),具有相同的模值,同時(shí)具有相同的幅角,那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的,

有Z=x+yi=Acos(sita)+iAsin(sita)

具體到根軌跡問(wèn)題,我們考慮具有開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GH的單位負(fù)反饋系統(tǒng),由fai=G/(1+GH),

因此閉環(huán)特征方程為1+GH=0,其中GH是關(guān)于s的表達(dá)式.

在這個(gè)復(fù)數(shù)方程中,如果把s都換成x+yi展開(kāi),會(huì)很麻煩,因此使用幅值條件和相角條件來(lái)求解

方程即GH=-1.其中右邊的-1,相角為180°,模值為1,因此常規(guī)根軌跡又稱(chēng)180°根軌跡(單位正反饋等的時(shí)候,閉環(huán)方程1-GH=0,此時(shí)1的相角為0°,故稱(chēng)零度根軌跡)

根軌跡的出射角和入射角怎么算

常規(guī)根軌跡和一般根軌跡都是由閉環(huán)特征方程得到的.

1、對(duì)于最小相位系統(tǒng),如果是負(fù)反饋的情況,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為GH,則閉環(huán)傳遞函數(shù)為G/(1+GH)

因此閉環(huán)特征方程為1+GH=0,即GH=-1.GH是關(guān)于s的函數(shù),換句話說(shuō)這個(gè)方程是一個(gè)復(fù)變的方程

其相角條件是fai(GH)=180°.

2、而對(duì)于正反饋的情況,閉環(huán)特征方程成為1-GH=0,此時(shí)e69da5e6ba90e799bee5baa6e997aee7ad9431333337393464為GH=1,相角條件為fai(GH)=0°,因此稱(chēng)為零度根軌跡.

180度還是0度,關(guān)鍵就在于相角條件.

3、另一方面,當(dāng)系統(tǒng)中含有非最小相位環(huán)節(jié),比如僅含有一個(gè)比例環(huán)節(jié)-K時(shí),首先把它變成我們習(xí)慣的方式,即K來(lái)標(biāo)注零極點(diǎn)(這種情況下是一樣的),但是事實(shí)上已經(jīng)改變了根軌跡的相角條件,因此此時(shí)畫(huà)出的是零度根軌跡.

4、再舉一例,比如系統(tǒng)僅含有一個(gè)非最小相位環(huán)節(jié)(-s+1),則可以提出-1變?yōu)?1(s-1),這時(shí)侯后部分仍然是我們熟悉的零極點(diǎn)(只不過(guò)是不穩(wěn)定的零極點(diǎn),但是處理方法完全相同).但是-1這個(gè)因子改變了相角條件,所以此時(shí)畫(huà)出的也是零度根軌跡.

5、總而言之,如果系統(tǒng)含有非最小相位環(huán)節(jié)(s最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù))或反饋為正反饋時(shí),需要考慮是否畫(huà)零度根軌跡.具體只需將閉環(huán)方程寫(xiě)成我們熟悉的零-極點(diǎn)形式,再觀察等式另一邊到底是1還是-1即可.

根軌跡如何判斷穩(wěn)定性

常規(guī)根軌跡和零度根軌跡都是由閉環(huán)特征方程得到的.

對(duì)于最小相位系統(tǒng),如果是負(fù)反饋的情況,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為GH,則閉環(huán)傳遞函數(shù)為G/(1+GH)

因此閉環(huán)特征方程為1+GH=0,即GH=-1.GH是關(guān)于s的函數(shù),換句話說(shuō)這個(gè)方程是一個(gè)復(fù)變的方程

其相角條件是fai(GH)=180°.

而對(duì)于正反饋的情況,閉環(huán)特征方程成為1-GH=0,此時(shí)為GH=1,相角條件為fai(GH)=0°,因此稱(chēng)為零度根軌跡.

180度還是0度,關(guān)鍵就在于相角條件.

另一方面,當(dāng)系統(tǒng)中含有非最小相位環(huán)節(jié),比如僅含有一個(gè)比例環(huán)節(jié)-K時(shí),首先把它變成我們習(xí)慣的方式,即K來(lái)標(biāo)注零極點(diǎn)(這種情況下是一樣的),但是事實(shí)上已經(jīng)改變了根軌跡的相角條件,因此此時(shí)畫(huà)出的是零度根軌跡.

再舉一例,比如系統(tǒng)僅含有一個(gè)非最小相位環(huán)節(jié)(-s+1),則可以提出-1變?yōu)?1(s-1),這時(shí)侯后部分仍然是我們熟悉的零極點(diǎn)(只不過(guò)是不穩(wěn)定的零極點(diǎn),但是處理方法完全相同).但是-1這個(gè)因子改變了相角條件,所以此時(shí)畫(huà)出的也是零度根軌跡.

總而言之,如果系統(tǒng)含有非最小相位環(huán)節(jié)(s最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù))或反饋為正反饋時(shí),需要考慮是否畫(huà)零度根軌跡.具體只需將閉環(huán)方程寫(xiě)成我們熟悉的零-極點(diǎn)形式,再觀察等式另一邊到底是1還是-1即可.

從根軌跡的繪制方法來(lái)講,涉及相角的法則都需要進(jìn)行變更(包括實(shí)軸根軌跡、出射入射角,分離角我不太清楚,但是一般兩條分離的90°應(yīng)該不會(huì)有什么問(wèn)題)

希望能夠幫到樓主

根軌跡開(kāi)環(huán)增益公式

常規(guī)根軌跡和零度根軌跡都是由閉環(huán)特征方程得到的。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，如果是負(fù)反饋的情況，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為GH，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為G/（1+GH），因此閉環(huán)特征方程為1+GH=0，即GH=-1。GH是關(guān)于s的函數(shù)，換句話說(shuō)這個(gè)方程是一個(gè)復(fù)變的方程其相角條件是fai（GH）=180°。

而對(duì)于正反饋的情況，閉環(huán)特征方程成為1-GH=0，此時(shí)為GH=1，相角條件為fai（GH）=0°，因此稱(chēng)為零度根軌跡。

根軌跡與系統(tǒng)穩(wěn)定性

如果根軌跡全部位于s平面左側(cè)，就表示無(wú)論增益怎么改變，特征根全部具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。

如果根軌跡在虛軸上，表示臨界穩(wěn)定，也就是不斷振蕩。

如果根軌跡根軌跡全部都在s右半平面，則表示無(wú)論選擇什么參數(shù)，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。

也就是說(shuō)增益在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)可以保持穩(wěn)定，但是當(dāng)增益的變化超過(guò)這一閾值時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)變得不穩(wěn)定，而這一閾值就是出現(xiàn)在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)上，在這一點(diǎn)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。最終可由增益的取值范圍判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

根軌跡圖上哪里是穩(wěn)定的

根軌跡圖是開(kāi)環(huán)。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，如果是負(fù)反饋的情況，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為GH，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為G/（1+GH），因此閉環(huán)特征方程為1+GH=0，即GH=-1。

GH是關(guān)于s的函數(shù)。換句話說(shuō)這個(gè)方程是一個(gè)復(fù)變的方程，其相角條件是fai（GH）=180°，而對(duì)于正反饋的情況，閉環(huán)特征方程成為1-GH=0，此時(shí)為GH=1，相角條件為fai（GH）=0°，因此稱(chēng)為零度根軌跡。

提出

當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)沒(méi)有零點(diǎn)與極點(diǎn)相消時(shí)，閉環(huán)特征方程式的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，我們常簡(jiǎn)稱(chēng)為閉環(huán)極點(diǎn)。因此，從已知的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)位置及某一變化的參數(shù)來(lái)求取閉環(huán)極點(diǎn)的分布，實(shí)際上就是解決閉環(huán)特征方程式的求根問(wèn)題。

當(dāng)特征方程的階數(shù)高于四階時(shí)，除了應(yīng)用MATLAB軟件包，求根過(guò)程是比較復(fù)雜的。如果要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)特征方程式根的影響，就需要進(jìn)行大量的反復(fù)計(jì)算，同時(shí)還不能直觀看出影響趨勢(shì)。因此對(duì)于高階系統(tǒng)的求根問(wèn)題來(lái)說(shuō)，解析法就顯得很不方便。