什么叫秩為1的矩陣 矩陣的秩與特征值之間的關(guān)系
秩為1的矩陣長(zhǎng)什么樣，可否舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子？秩為1矩陣?有什么性質(zhì)？秩等于1的矩陣,它的特征值為什么是這樣的？秩為1的矩陣性質(zhì)總結(jié)是什么？秩為一的矩陣的特征值是什么？秩等于1的矩陣都有什么特征？
本文導(dǎo)航
矩陣的秩的本質(zhì)是什么
矩陣秩為1，即極大線性無關(guān)組為1，比如以下矩陣：
矩陣的秩為1的例子
設(shè)A是秩為1的n階方陣，則
1、A可表示為αβ＾T，其中α，β為n維列向量。
2、A＾k＝（α＾Tβ）＾（k－1）A
3、tr（A）＝α＾Tβ
4、A的特征值為α＾Tβ，0，0，．．．，0
注：α＾Tβ＝β＾Tα
擴(kuò)展資料
秩等于1的矩陣的定義：
秩等于1的矩陣是一類特殊的矩陣，它一定可以表示為一個(gè)非零列向量（列矩陣）與一個(gè)非零行向量（行矩陣）的乘積，根據(jù)矩陣乘法的結(jié)合律這類矩陣的乘法和方冪運(yùn)算可以大大簡(jiǎn)化；這類矩陣的特征值與特征向量具有其特殊性。
如何判斷矩陣的秩為1
秩小于行或者列的個(gè)數(shù)n，說明矩陣的行列式值等于0，而矩陣行列式等于特征值的乘積，所以一定會(huì)有零為特征值。
對(duì)于秩為1的n階矩陣，零是其n重或n-1重特征值，如果是n-1重，則非零特征值是矩陣的主對(duì)角線元素之和；另外還看到，秩為1的矩陣可以分解為一個(gè)非零列向量與另一個(gè)非零列向量的轉(zhuǎn)置的乘積，這兩個(gè)向量的內(nèi)積即是非零特征值；秩為1的矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含n-1個(gè)解向量。
秩等于1的方陣的對(duì)角化問題：
矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是：A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
對(duì)于秩等于1的n(n2)階矩陣A=aT,a,均為n維非零列向量，齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有n-1個(gè)線性無關(guān)的解向量a2=(-b2,b1,0,..0)T，a3=()J3,D,),.....,an=-n,0,..,b1)T，它們是A對(duì)應(yīng)于特征值入=0的n-1個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
矩陣的秩的簡(jiǎn)單理解
性質(zhì)總結(jié)如下：
1、對(duì)于秩為1的n階矩陣，零是其n重或n-1重特征值，如果是n-1重，則非零特征值是矩陣的主對(duì)角線元素之和。
2、另外還看到，秩為1的矩陣可以分解為一個(gè)非零列向量與另一個(gè)非零列向量的轉(zhuǎn)置的乘積，這兩個(gè)向量的內(nèi)積即是非零特征值；秩為1的矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含n-1個(gè)解向量。
秩1矩陣形如以下形式：
一、基本性質(zhì)1、2、3的秩，則存在常數(shù)，使得，此時(shí)是秩1矩陣4，則存在。
二、特征值1的特征值為0（n-1重），(1重)。2的特征值為0（n重）。正定，是n維的非零實(shí)列向量，特征值為0（n-1重），(1重)。
三、對(duì)角化的最小多項(xiàng)式。當(dāng)可對(duì)角化；當(dāng)不可對(duì)角化，所以存在可逆矩陣，使得特別的實(shí)對(duì)稱陣，則一定可對(duì)角化存在可逆矩陣。
矩陣的秩與特征值之間的關(guān)系
秩為1的矩陣，1個(gè)非零特征值是矩陣的跡， 即對(duì)角元元素之和， 其它特征值均為0。
對(duì)于秩為1的n階矩陣，零是其n重或n-1重特征值，如果是n-1重，則非零特征值是矩陣的主對(duì)角線元素之和。
另外還看到，秩為1的矩陣可以分解為一個(gè)非零列向量與另一個(gè)非零列向量的轉(zhuǎn)置的乘積，這兩個(gè)向量的內(nèi)積即是非零特征值，秩為1的矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含n-1個(gè)解向量。
定義：
由定義直接可得n階可逆矩陣的，秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣， det(A)70，不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。矩陣A的轉(zhuǎn)置AT的秩與A的秩是一樣的，即rank(A)=rank(AT)。
當(dāng)r(A)<=n-2時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個(gè)正負(fù)號(hào)，所以伴隨陣為0矩陣。
當(dāng)r(A)<=n-1時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零(等號(hào)成立時(shí)伴隨陣必為非零)。
矩陣秩為一有什么結(jié)論
秩等于1的矩陣是最無奈的情況，列那么多方程組，最后只有一個(gè)有用。傷不起
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