什么是極大線性無關(guān)組 怎樣判斷向量組線性無關(guān)

什么是極大線性無關(guān)組？如何理解極大線性無關(guān)組？高等代數(shù)，什么是極大線性無關(guān)組？極大線線性無關(guān)組，什么是極大無關(guān)組？怎么判別？向量組中極大線性無關(guān)組如何找？是如何定義的？

本文導(dǎo)航

• 極大線性無關(guān)組不唯一有幾種情況
• 極大線性無關(guān)組個數(shù)怎么判斷
• 線性代數(shù)和高等代數(shù)有什么區(qū)別
• 怎么理解極大無關(guān)組和線性無關(guān)
• 怎么判定是不是極大線性無關(guān)組
• 怎樣判斷向量組線性無關(guān)

極大線性無關(guān)組不唯一有幾種情況

基本定義

定義

設(shè)S是一個n維向量組,α1,α2,...αr 是S中的部分向量或整個向量組.如果 　　

(1) α1,α2,...αr 線性無關(guān); 　　

(2)S中的每一個向量都可以由α1,α2,...αr 線性表示, 　　那么α1,α2,...αr 稱為向量組S的一個極大線性無關(guān)組,或極大無關(guān)組。

注解

　?。?）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組。 　　

（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。 　　

（3）極大線性無關(guān)組對于每個向量組來說并不唯一。但是每個極大線性無關(guān)組的向量組的個數(shù)都相同。

性質(zhì)定理

基本性質(zhì)

性質(zhì)1：任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。 　　

性質(zhì)2:向量組的任意兩個極大無關(guān)組都是等價的。

相關(guān)定理

　　一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價，且所含向量的個數(shù)相同。 　　向量組A={a1,a2,…,an}，向量組B={b1,b2,…,br}是A的部分向量組，即B是A的子集，如果向量組B線性無關(guān)，且向量組A中每一個向量都可以由向量組B中的向量線性表示，則向量組B稱為是向量組A的一個極大線性無關(guān)組。 　　一個向量組的極大線性無關(guān)組并不一定是唯一的，但一個向量組的任何一個極大線性無關(guān)組中所含的向量個數(shù)是確定的，這個數(shù)稱為向量組的秩。

極大線性無關(guān)組個數(shù)怎么判斷

極大無關(guān)組 就象班里的班長副班長 他們能代表全班 但又缺一不可

極大無關(guān)組本身線性無關(guān) ( 無多余向量 缺一不可)

它又能表示向量組中任一向量 (是班里選的代表)

把向量按列構(gòu)成一矩陣

用初等行變換化成行階梯

非零行的首非零元所在的列對應(yīng)的向量即構(gòu)成一個極大無關(guān)組

如向量組 a1,a2,a3,a4

構(gòu)成矩陣 (a1,a2,a3,a4)

化成

1 2 3 4

0 0 2 4

0 0 0 5

則極大無關(guān)組就是 a1,a3,a4

線性代數(shù)和高等代數(shù)有什么區(qū)別

定義

設(shè)S是一個n維向量組,α1,α2,...αr 是S的一個部分組,如果

(1) α1,α2,...αr 線性無關(guān)；

(2) 向量組S中每一個向量均可由此部分組線性表示,

那么α1,α2,...αr 稱為向量組S的一個極大線性無關(guān)組,或極大無關(guān)組.

怎么理解極大無關(guān)組和線性無關(guān)

在變換到階梯矩陣之后，每一行第一個非零元素所在列對應(yīng)的向量組合起來就是極大線性無關(guān)組。極大線性無關(guān)組一般都不是只有1個，只要向量組自身不是極大線性無關(guān)組，那么就一定有2個或以上的極大線性無關(guān)組，但是一般習(xí)慣于用數(shù)字小的向量，比如會選擇X1、X2、X3，而不會選擇X1、X2、X4。在找到一個極大線性無關(guān)組之后，組外的向量可以用這個極大線性無關(guān)組來表示，那么同樣，這個極大線性無關(guān)組里的一個向量也可以用極大線性無關(guān)組里的其他向量和一個組外的向量來表示，這樣就找到了另一個極大線性無關(guān)組。以我之前回答的一個極大線性無關(guān)組的問題為例。 1 -1 2 -2 1 1 -1 2 -2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 -1 3 -2 1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1 3 -2 5 -1 3 0 1 -1 5 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 1 4 -2 6 -1 3 0 2 -2 7 -1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 所以極大線性無關(guān)組是X1、X2、X4，X3=X1-X2，X5=-5/3X2+1/3X4。從最后的階梯矩陣看，第二行可以不選第一個數(shù)1對應(yīng)的向量，可以選-1對應(yīng)的向量，那么極大線性無關(guān)組就是X1、X3、X4，X2=X1-X3，X5=5/3X1-5/3X3+1/3X4。也可以第三行不選3對應(yīng)的向量，選1對應(yīng)的向量，那么極大線性無關(guān)組就是X1、X2、X5，X2=X1-X3，X4=5X2+3X5?？傊?，階梯矩陣階梯上的數(shù)對應(yīng)的向量都可以選，注意一定是階梯上，這些數(shù)一定下面是0或者已經(jīng)是矩陣最下面一行。每級階梯上選出一個數(shù)，它們對應(yīng)的向量就可以組成一個極大線性無關(guān)組。

怎么判定是不是極大線性無關(guān)組

向量組的極大無關(guān)組滿足2個條件：

1、自身線性無關(guān)。

2、向量組中所有向量可由它線性表示。

例題的解法：

構(gòu)造矩陣 (a1，a2，a3，a4)，對它用行變換化成梯矩陣。

非零行的首非零元所在的列對應(yīng)的向量就是一個極大無關(guān)組。

5 4 1 3

2 1 1 4

-3 -2 -1 -1

1 3 -2 2

化成了行簡化梯矩陣：

1 0 1 0

0 1 -1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

所以極大無關(guān)組是: a1，a2，a4

且 a3 = a1-a2+0a4

擴展資料：

極大無關(guān)組的概念可以推廣到含無限個向量的情形。因此，線性空間V的任一個基可看成V的極大無關(guān)組。特別的，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是其解空間的極大無關(guān)組。

設(shè)V是域P上的線性空間，S是V的子集。若S的一部分向量線性無關(guān)，但在這部分向量中，加上S的任一向量后都線性相關(guān)，則稱這部分向量是S的一個極大線性無關(guān)組。V中子集的極大線性無關(guān)組不是惟一的，例如，V的基都是V的極大線性無關(guān)組。

任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。一向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都是等價的。

若一個向量組中的每個向量都能用另一個向量組中的向量線性表出，則前者極大線性無關(guān)向量組的向量個數(shù)小于或等于后者。

參考資料來源：百度百科——極大線性無關(guān)組

參考資料來源：百度百科——極大無關(guān)組

怎樣判斷向量組線性無關(guān)

首先把這個向量組化為行最簡形即階梯矩陣，找到每列非零元素即可，例如：

a1 ;a2 ;a3 ;a4

1 ; ;0 ; ;1 ; ; 0

0 ; ;1 ; ;1 ; ; 0

0 ; ;0 ; ;0 ; ; 1

0 ; ;0 ; ;0 ; ; 0

極大線性無關(guān)組即為：a1，a2，a4；a2，a3，a4；a1，a3，a4；a1，a2，a3不是極大無關(guān)組。

極大線性無關(guān)組是線性空間的基對向量集的推廣。設(shè)V是域P上的線性空間，S是V的子集。若S的一部分向量線性無關(guān)，但在這部分向量中，加上S的任一向量后都線性相關(guān)，則稱這部分向量是S的一個極大線性無關(guān)組。

V中子集的極大線性無關(guān)組不是惟一的，例如，V的基都是V的極大線性無關(guān)組。它們所含的向量個數(shù)（基數(shù)）相同。V的子集S的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)（基數(shù)），稱為S的秩。

基本性質(zhì)：

（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組；

（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身；

（3）極大線性無關(guān)組對于每個向量組來說并不唯一，但是每個向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量；

（4）齊次方程組的解向量的極大無關(guān)組為基礎(chǔ)解系。

（5）任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。

（6）一向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都是等價的。

（7）若一個向量組中的每個向量都能用另一個向量組中的向量線性表出，則前者極大線性無關(guān)向量組的向量個數(shù)小于或等于后者。